哈尔滨工程大学 2004年高等代数第0题
📝 题目
八、设 $V$ 为复数域上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}, \mathcal{B}$ 为 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{B} \mathcal{A}=\mathcal{B} \mathcal{A}$ ，求证：
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确认题目条件并修正
原题条件 $\mathcal{B} \mathcal{A} = \mathcal{B} \mathcal{A}$ 是平凡的，应为 $\mathcal{B} \mathcal{A} = \mathcal{A} \mathcal{B}$，即 $\mathcal{A}$ 与 $\mathcal{B}$ 可交换。下面证明可交换的线性变换存在公共特征向量。
提示：注意题目条件可能笔误，可交换性是关键条件。
步骤 2/5
目标：利用复数域上线性变换必有特征值
由于 $V$ 是复数域上的线性空间，$\mathcal{A}$ 的特征多项式在复数域内可分解，故 $\mathcal{A}$ 至少有一个特征值 $\lambda$，对应的特征子空间 $V_\lambda = \{ v \in V \mid \mathcal{A}v = \lambda v \}$ 非零。
公式：$\mathcal{A}v = \lambda v$
提示：复数域保证特征值存在，这是后续论证的基础。
步骤 3/5
目标：证明特征子空间 $V_\lambda$ 是 $\mathcal{B}$ 的不变子空间
对任意 $v \in V_\lambda$，由 $\mathcal{A}\mathcal{B}v = \mathcal{B}\mathcal{A}v = \mathcal{B}(\lambda v) = \lambda \mathcal{B}v$，可知 $\mathcal{B}v \in V_\lambda$，因此 $V_\lambda$ 在 $\mathcal{B}$ 作用下不变。
公式：$\mathcal{A}\mathcal{B}v = \lambda \mathcal{B}v$
提示：推导中用到可交换性，注意 $\mathcal{B}\mathcal{A}v = \mathcal{B}(\lambda v) = \lambda \mathcal{B}v$。
步骤 4/5
目标：在不变子空间上考虑 $\mathcal{B}$ 的特征向量
将 $\mathcal{B}$ 限制在 $V_\lambda$ 上，得到 $V_\lambda$ 上的线性变换 $\mathcal{B}|_{V_\lambda}$。由于 $V_\lambda$ 是复数域上的子空间，$\mathcal{B}|_{V_\lambda}$ 有特征值 $\mu$ 和对应的特征向量 $w \in V_\lambda$，满足 $\mathcal{B}w = \mu w$。
公式：$\mathcal{B}w = \mu w$
提示：注意 $V_\lambda$ 可能不是一维，但复数域保证特征值存在。
步骤 5/5
目标：得到公共特征向量
由于 $w \in V_\lambda$，有 $\mathcal{A}w = \lambda w$，同时 $\mathcal{B}w = \mu w$，因此 $w$ 是 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 的公共特征向量。
公式：$\mathcal{A}w = \lambda w, \mathcal{B}w = \mu w$
提示：公共特征向量同时是两个变换的特征向量。
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