哈尔滨工程大学 2004年高等代数第0题
📝 题目
3．若 $\mathcal{A}$ 为 $V$ 的正交变换， 1 为其特征值，且相应的特征子空间的维数为 $n-1$ ，则 $\mathcal{A}$ 为镜面反射．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确已知条件
设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\mathcal{A}$ 是正交变换，且 $1$ 是特征值，特征子空间 $V_1 = \{v \in V \mid \mathcal{A}v = v\}$ 的维数为 $n-1$。
提示：注意正交变换保持内积，且特征子空间是子空间。
步骤 2/7
目标：分解空间
由于 $V_1$ 的维数为 $n-1$，其正交补 $V_1^\perp$ 的维数为 $1$。取单位向量 $e \in V_1^\perp$，则 $V = V_1 \oplus \operatorname{span}\{e\}$。
公式：V = V_1 \oplus \operatorname{span}\{e\}
提示：正交补的维数公式：$\dim V_1^\perp = n - \dim V_1$。
步骤 3/7
目标：分析 $\mathcal{A}e$ 的分解
由于 $\mathcal{A}$ 是正交变换，保持内积。对任意 $v \in V_1$，有 $\langle \mathcal{A}e, v \rangle = \langle e, \mathcal{A}^{-1}v \rangle = \langle e, v \rangle = 0$，因为 $\mathcal{A}^{-1}v = v$（$\mathcal{A}$ 在 $V_1$ 上为恒等变换）且 $e \perp v$。所以 $\mathcal{A}e \perp V_1$，即 $\mathcal{A}e \in V_1^\perp = \operatorname{span}\{e\}$。
公式：\langle \mathcal{A}e, v \rangle = \langle e, \mathcal{A}^{-1}v \rangle = \langle e, v \rangle = 0
提示：注意 $\mathcal{A}^{-1} = \mathcal{A}^T$ 在正交变换下成立，但这里直接用了逆变换。
步骤 4/7
目标：确定 $\mathcal{A}e$ 的表达式
由 $\mathcal{A}e \in \operatorname{span}\{e\}$，存在实数 $\lambda$ 使得 $\mathcal{A}e = \lambda e$。由于 $\mathcal{A}$ 是正交变换，保持长度：$\|\mathcal{A}e\| = \|e\| = 1$，故 $|\lambda| = 1$，即 $\lambda = \pm 1$。
公式：\mathcal{A}e = \lambda e, \quad |\lambda| = 1
提示：正交变换保持向量长度，所以 $\|\mathcal{A}e\| = \|e\|$。
步骤 5/7
目标：排除 $\lambda = 1$ 的情况
若 $\lambda = 1$，则 $\mathcal{A}e = e$，即 $e \in V_1$，但 $e \in V_1^\perp$ 且 $e \neq 0$，矛盾。因此 $\lambda = -1$。
提示：注意 $V_1$ 与 $V_1^\perp$ 的交集只有零向量。
步骤 6/7
目标：构造矩阵表示
取 $V_1$ 的一组标准正交基 $\{v_1, \dots, v_{n-1}\}$，则 $\{v_1, \dots, v_{n-1}, e\}$ 构成 $V$ 的一组标准正交基。在此基下，$\mathcal{A}$ 的矩阵为 $\operatorname{diag}(1, \dots, 1, -1)$。
公式：\mathcal{A} \sim \begin{pmatrix} I_{n-1} & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
提示：注意 $V_1$ 上的变换是恒等变换。
步骤 7/7
目标：得出结论
该矩阵表示的是关于超平面 $V_1$ 的镜面反射（即反射变换）。因此 $\mathcal{A}$ 是镜面反射。
提示：镜面反射的定义：关于一个 $n-1$ 维子空间的反射，特征值为 $1$（重数 $n-1$）和 $-1$（重数 $1$）。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。