哈尔滨工程大学 2004年高等代数第0题

设 $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ 为数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\lambda_0$ 是 $\mathcal{A}\mathcal{B}$ 的特征值，$\beta$ 为相应的特征向量，即 $\mathcal{A}\mathcal{B}(\beta) = \lambda_0 \beta$，且 $\beta \neq 0$。

若 $\lambda_0 \neq 0$，则 $\mathcal{B}(\beta) \neq 0$（否则 $\mathcal{A}\mathcal{B}(\beta)=0$，与 $\lambda_0 \neq 0$ 矛盾）。令 $\alpha = \mathcal{B}(\beta)$，则 $\alpha \neq 0$。

计算 $\mathcal{B}\mathcal{A}(\alpha) = \mathcal{B}\mathcal{A}\mathcal{B}(\beta) = \mathcal{B}(\mathcal{A}\mathcal{B}(\beta)) = \mathcal{B}(\lambda_0 \beta) = \lambda_0 \mathcal{B}(\beta) = \lambda_0 \alpha$。因此 $\lambda_0$ 是 $\mathcal{B}\mathcal{A}$ 的特征值，$\alpha$ 为相应的特征向量。

若 $\lambda_0 = 0$，则 $\mathcal{A}\mathcal{B}(\beta)=0$。由于 $\mathcal{A}\mathcal{B}$ 不可逆（0是特征值），其行列式为0。又因为 $\det(\mathcal{B}\mathcal{A}) = \det(\mathcal{A}\mathcal{B})$（对于方阵），所以 $\mathcal{B}\mathcal{A}$ 也不可逆，从而0也是 $\mathcal{B}\mathcal{A}$ 的特征值。

由于 $\mathcal{B}\mathcal{A}$ 不可逆，存在非零向量 $\gamma$ 使得 $\mathcal{B}\mathcal{A}(\gamma)=0$，即0是 $\mathcal{B}\mathcal{A}$ 的特征值。虽然这个特征向量不一定与 $\beta$ 直接相关，但结论成立。

综上所述，无论 $\lambda_0$ 是否为0，$\lambda_0$ 都是 $\mathcal{B}\mathcal{A}$ 的特征值。当 $\lambda_0 \neq 0$ 时，特征向量为 $\mathcal{B}(\beta)$；当 $\lambda_0 = 0$ 时，特征向量存在但未必与 $\beta$ 有关。