哈尔滨工程大学 2004年高等代数第0题
📝 题目
8．设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$A^{m}=0$（ $m$ 为一个正整数），则 $A$ 的特征多项式为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解幂零矩阵的定义
已知 $A^m = 0$，其中 $m$ 为正整数，这意味着 $A$ 是幂零矩阵。幂零矩阵的幂次最终为零矩阵。
公式：$A^m = 0$
提示：注意 $m$ 是正整数，不一定是最小的幂零指数。
步骤 2/6
目标：设特征值与特征向量
设 $\lambda$ 是 $A$ 的任意一个特征值，则存在非零向量 $\xi$ 使得 $A\xi = \lambda\xi$。
公式：$A\xi = \lambda\xi$
提示：特征向量必须非零。
步骤 3/6
目标：推导特征值的幂为零
在 $A\xi = \lambda\xi$ 两边左乘 $A^{m-1}$，得到 $A^m\xi = \lambda^m\xi$。由于 $A^m = 0$，所以 $\lambda^m\xi = 0$。因为 $\xi \neq 0$，故 $\lambda^m = 0$。
公式：$A^m\xi = \lambda^m\xi$
提示：注意矩阵乘法顺序，左乘 $A^{m-1}$ 是合法的。
步骤 4/6
目标：得出特征值为零
由 $\lambda^m = 0$ 可得 $\lambda = 0$（在复数域中，$\lambda^m=0$ 的唯一解是 $\lambda=0$）。因此 $A$ 的所有特征值均为 $0$。
公式：$\lambda^m = 0 \Rightarrow \lambda = 0$
提示：注意在复数域中，$\lambda^m=0$ 只有零解。
步骤 5/6
目标：写出特征多项式
由于 $A$ 是 $n$ 阶方阵，且所有特征值都是 $0$，因此特征多项式为 $\det(\lambda I - A) = \lambda^n$。
公式：$\det(\lambda I - A) = \lambda^n$
提示：特征多项式是 $\lambda$ 的 $n$ 次多项式，首项系数为 $1$。
步骤 6/6
目标：验证结论
例如，若 $A$ 是严格上三角矩阵，则 $A^n=0$，其特征多项式为 $\lambda^n$，与结论一致。
提示：幂零矩阵不一定是对角化的，但特征多项式总是 $\lambda^n$。
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