哈尔滨工程大学 2004年高等代数第0题
📝 题目
5．向量组 $\alpha_{1}=(5,2,-3,) \alpha_{2}=(4,1,2), 3 \alpha_{3}=(1,-1,-), \alpha_{4},(3,4)$ 的一个极大线性无关组为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：补充向量并构造矩阵
将向量组补充完整：$\alpha_1 = (5,2,-3)$, $\alpha_2 = (4,1,2)$, $\alpha_3 = (1,-1,-2)$, $\alpha_4 = (3,4,7)$。以这些向量为列构造矩阵 $A$：
$$A = \begin{pmatrix} 5 & 4 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & -1 & 4 \\ -3 & 2 & -2 & 7 \end{pmatrix}$$
提示：注意向量维数要一致，题目中缺失的数字要合理补全。
步骤 2/4
目标：行初等变换化为行阶梯形
对矩阵进行行初等变换：
$$\begin{pmatrix} 5 & 4 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & -1 & 4 \\ -3 & 2 & -2 & 7 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 4 \\ 5 & 4 & 1 & 3 \\ -3 & 2 & -2 & 7 \end{pmatrix}$$
$$\xrightarrow{R_2 - \frac{5}{2}R_1,\; R_3 + \frac{3}{2}R_1} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} & -7 \\ 0 & \frac{7}{2} & -\frac{7}{2} & 13 \end{pmatrix}$$
$$\xrightarrow{\times 2} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 3 & 7 & -14 \\ 0 & 7 & -7 & 26 \end{pmatrix}$$
$$\xrightarrow{R_3 - \frac{7}{3}R_2} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 3 & 7 & -14 \\ 0 & 0 & -\frac{70}{3} & \frac{176}{3} \end{pmatrix}$$
$$\xrightarrow{\times 3} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 3 & 7 & -14 \\ 0 & 0 & -70 & 176 \end{pmatrix}$$
提示：行变换时注意分数运算，避免计算错误。
步骤 3/4
目标：化为行最简形
继续化简：
$$\xrightarrow{R_3 \div (-70)} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 3 & 7 & -14 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{88}{35} \end{pmatrix}$$
$$\xrightarrow{R_2 - 7R_3,\; R_1 + R_3} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 4 - \frac{88}{35} \\ 0 & 3 & 0 & -14 + \frac{616}{35} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{88}{35} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & \frac{52}{35} \\ 0 & 3 & 0 & \frac{126}{35} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{88}{35} \end{pmatrix}$$
$$\xrightarrow{R_2 \div 3} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & \frac{52}{35} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{42}{35} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{88}{35} \end{pmatrix}$$
$$\xrightarrow{R_1 - R_2} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & \frac{10}{35} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{42}{35} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{88}{35} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & \frac{2}{7} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{6}{5} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{88}{35} \end{pmatrix}$$
$$\xrightarrow{R_1 \div 2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{7} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{6}{5} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{88}{35} \end{pmatrix}$$
提示：行最简形中主元所在列对应线性无关的向量。
步骤 4/4
目标：确定极大线性无关组
行最简形中前三列是单位向量，因此 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，且 $\alpha_4$ 可由它们线性表示。所以一个极大线性无关组为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$。
提示：极大线性无关组不唯一，但通常取主元列对应的原向量。
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