哈尔滨工程大学 2004年高等代数第0题
📝 题目
7．设 3 阶方阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=3$ ，则 $\left|16 E_{3}-A^{2}\right|=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定A^2的特征值
已知3阶方阵$A$的特征值为$\lambda_1=1, \lambda_2=2, \lambda_3=3$。根据特征值的性质，若$\lambda$是$A$的特征值，则$\lambda^2$是$A^2$的特征值。因此，$A^2$的特征值为$1^2=1$, $2^2=4$, $3^2=9$。
公式：若$\lambda$是$A$的特征值，则$\lambda^k$是$A^k$的特征值。
提示：注意特征值平方时，每个特征值分别平方，不要混淆。
步骤 2/5
目标：构造矩阵16E_3 - A^2
考虑矩阵$16E_3 - A^2$，其中$E_3$是3阶单位矩阵。该矩阵的特征值可由$A^2$的特征值推导得出。
提示：单位矩阵的特征值全为1，但这里直接利用多项式性质。
步骤 3/5
目标：计算16E_3 - A^2的特征值
对于$A^2$的每个特征值$\mu$，$16E_3 - A^2$对应的特征值为$16 - \mu$。因此，特征值分别为$16-1=15$, $16-4=12$, $16-9=7$。
公式：若$\mu$是$B$的特征值，则$c-\mu$是$cI-B$的特征值。
提示：注意是$16$减去特征值，而不是特征值减$16$。
步骤 4/5
目标：计算行列式
矩阵的行列式等于其特征值的乘积。由于$16E_3 - A^2$是3阶方阵，其行列式为$15 \times 12 \times 7$。
公式：$\det(B) = \prod_{i=1}^n \lambda_i$，其中$\lambda_i$是$B$的特征值。
提示：行列式是特征值的乘积，注意特征值的个数等于矩阵的阶数。
步骤 5/5
目标：计算乘积结果
计算$15 \times 12 = 180$，再乘以$7$得$180 \times 7 = 1260$。因此，$|16E_3 - A^2| = 1260$。
提示：乘法计算要仔细，避免算术错误。
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