哈尔滨工程大学 2004年高等代数第0题
📝 题目
十、若 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，求证 $\displaystyle A^{n}$ 的秩等于 $\displaystyle A^{n+1}$ 的秩．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立秩的不等式关系
由秩的性质，对于任意矩阵 $A$，有 $\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(A)$。令 $B = A$，则 $\operatorname{rank}(A^{n+1}) = \operatorname{rank}(A^n \cdot A) \leq \operatorname{rank}(A^n)$。因此 $\operatorname{rank}(A^{n+1}) \leq \operatorname{rank}(A^n)$。
公式：\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(A)
提示：注意不等式方向：乘积的秩不超过左因子的秩。
步骤 2/6
目标：引入线性变换与像空间序列
考虑由矩阵 $A$ 定义的线性变换 $T: \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$，$T(x) = Ax$。定义 $V_k = \operatorname{Im}(A^k)$，即 $A^k$ 的像空间。则 $V_0 = \mathbb{C}^n$，且 $V_1 \supseteq V_2 \supseteq \cdots$，因为 $V_{k+1} = A(V_k) \subseteq V_k$。
公式：V_k = \operatorname{Im}(A^k)
提示：像空间序列是递减的，注意包含关系。
步骤 3/6
目标：利用维数有限性得到稳定指数
由于 $\mathbb{C}^n$ 是有限维空间，维数 $\dim V_k$ 是非负整数且单调不增，因此存在某个 $m$ 使得 $\dim V_m = \dim V_{m+1}$，从而 $V_m = V_{m+1}$（因为包含关系）。取最小的这样的 $m$，则 $m \leq n$，因为维数严格下降最多 $n$ 步（从 $n$ 降到 $0$）。
提示：最小稳定指数 $m$ 不超过 $n$，这是关键。
步骤 4/6
目标：推导 $n$ 和 $n+1$ 时的相等性
由 $m \leq n$ 可知 $V_m = V_{m+1} = \cdots$，特别地，$V_n = V_{n+1}$。因为 $V_n$ 和 $V_{n+1}$ 都是序列中的项，且序列从 $m$ 开始稳定，而 $n \geq m$，所以 $V_n = V_{n+1}$。
提示：注意 $n$ 可能大于 $m$，但序列稳定后所有后续项相等。
步骤 5/6
目标：转化为秩的等式
由于 $\operatorname{rank}(A^n) = \dim V_n$，$\operatorname{rank}(A^{n+1}) = \dim V_{n+1}$，而 $V_n = V_{n+1}$，故 $\dim V_n = \dim V_{n+1}$，即 $\operatorname{rank}(A^n) = \operatorname{rank}(A^{n+1})$。
公式：\operatorname{rank}(A^k) = \dim \operatorname{Im}(A^k)
提示：秩等于像空间的维数，这是基本概念。
步骤 6/6
目标：综合结论
由第一步的不等式 $\operatorname{rank}(A^{n+1}) \leq \operatorname{rank}(A^n)$ 和第五步的等式 $\operatorname{rank}(A^n) = \operatorname{rank}(A^{n+1})$，得 $\operatorname{rank}(A^n) = \operatorname{rank}(A^{n+1})$。证毕。
提示：注意不等式和等式结合得到最终结论。
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