哈尔滨工程大学 2004年高等代数第0题
📝 题目
4．设 $A_{m}$ 为 $m$ 阶方阵，$B_{n}$ 为 $n$ 阶方阵，$\left|A_{m}\right|=a,\left|B_{n}\right|=b$ ，则 $\left|\begin{array}{cc}0 & A_{m} \\ B_{m} & 0\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别矩阵结构
给定矩阵 $C = \begin{pmatrix} 0 & A_m \\ B_n & 0 \end{pmatrix}$，其中 $A_m$ 是 $m$ 阶方阵，$B_n$ 是 $n$ 阶方阵，$C$ 是 $(m+n)$ 阶方阵。目标是计算行列式 $|C|$。
提示：注意矩阵的分块形式，左上和右下为零块。
步骤 2/5
目标：利用列交换化为分块对角矩阵
将 $C$ 的第 $n+1$ 列（即 $A_m$ 的第一列）依次与前面的第 $n$ 列、第 $n-1$ 列、...、第 $1$ 列交换，共需 $n$ 次交换，将其移到第 $1$ 列。类似地，将 $A_m$ 的第 $2$ 列（原第 $n+2$ 列）交换到第 $2$ 列，又需 $n$ 次交换。如此进行，将 $A_m$ 的所有 $m$ 列都移到前面，总共需要 $m \times n$ 次列交换。每次列交换改变行列式的符号，因此总符号因子为 $(-1)^{mn}$。
公式：行列式交换两列变号
提示：交换次数容易误算为 $m+n$ 或 $m$，注意是 $m \times n$ 次。
步骤 3/5
目标：得到分块对角矩阵的行列式
经过列交换后，矩阵变为 $\begin{pmatrix} A_m & 0 \\ 0 & B_n \end{pmatrix}$，其行列式等于 $|A_m| \cdot |B_n|$，因为分块对角矩阵的行列式等于各块行列式的乘积。
公式：$\begin{vmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{vmatrix} = |A| \cdot |B|$
提示：注意分块对角矩阵的行列式公式成立的前提是 $A$ 和 $B$ 是方阵。
步骤 4/5
目标：代入已知行列式值
已知 $|A_m| = a$，$|B_n| = b$，因此 $\begin{vmatrix} A_m & 0 \\ 0 & B_n \end{vmatrix} = a b$。
提示：注意 $a$ 和 $b$ 是数值，直接相乘。
步骤 5/5
目标：写出最终结果
结合符号因子，得到 $|C| = (-1)^{mn} a b$。
公式：$\begin{vmatrix} 0 & A_m \\ B_n & 0 \end{vmatrix} = (-1)^{mn} |A_m| \cdot |B_n|$
提示：最终结果不要忘记符号因子，且 $m$ 和 $n$ 是阶数，不是矩阵元素。
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