哈尔滨工程大学 2004年高等代数第0题
📝 题目
1．若 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，则 $A$ 的对应 $\lambda$ 的特征子空间 $V_{\lambda}=\{v \in V \mid \mathcal{A} v=\lambda v\}$ 为 $\mathcal{B}$ 的不变子空间；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件
已知 $\lambda$ 是线性变换 $\mathcal{A}$ 的特征值，$V_\lambda = \{ v \in V \mid \mathcal{A}v = \lambda v \}$ 是相应的特征子空间。$\mathcal{A}$ 与 $\mathcal{B}$ 可交换，即 $\mathcal{A}\mathcal{B} = \mathcal{B}\mathcal{A}$。要证明 $V_\lambda$ 是 $\mathcal{B}$ 的不变子空间，即对任意 $v \in V_\lambda$，有 $\mathcal{B}v \in V_\lambda$。
提示：注意特征子空间的定义：$V_\lambda$ 中的向量满足 $\mathcal{A}v = \lambda v$。
步骤 2/5
目标：任取特征向量
任取 $v \in V_\lambda$，则 $\mathcal{A}v = \lambda v$。
公式：\mathcal{A}v = \lambda v
提示：特征子空间中的任意向量都是特征向量（包括零向量）。
步骤 3/5
目标：应用交换性
由于 $\mathcal{A}$ 与 $\mathcal{B}$ 可交换，有 $\mathcal{A}\mathcal{B} = \mathcal{B}\mathcal{A}$。于是 $\mathcal{A}(\mathcal{B}v) = (\mathcal{A}\mathcal{B})v = (\mathcal{B}\mathcal{A})v$。
公式：\mathcal{A}\mathcal{B} = \mathcal{B}\mathcal{A}
提示：交换性条件必须正确使用，注意运算顺序。
步骤 4/5
目标：计算 $\mathcal{A}(\mathcal{B}v)$
继续计算：$(\mathcal{B}\mathcal{A})v = \mathcal{B}(\mathcal{A}v) = \mathcal{B}(\lambda v) = \lambda (\mathcal{B}v)$。因此 $\mathcal{A}(\mathcal{B}v) = \lambda (\mathcal{B}v)$。
公式：\mathcal{A}(\mathcal{B}v) = \lambda (\mathcal{B}v)
提示：注意 $\mathcal{B}(\lambda v) = \lambda \mathcal{B}v$ 是因为线性变换保持数乘。
步骤 5/5
目标：得出结论
由 $\mathcal{A}(\mathcal{B}v) = \lambda (\mathcal{B}v)$ 可知 $\mathcal{B}v \in V_\lambda$。因此 $V_\lambda$ 是 $\mathcal{B}$ 的不变子空间。
提示：不变子空间的定义：对任意 $v \in V_\lambda$，$\mathcal{B}v \in V_\lambda$。
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