哈尔滨工程大学 2004年高等代数第0题
📝 题目
6．设已知 3 个 3 维向量 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ ，其中，$\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 线性无关，而矩阵 $A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ 的秩为 2 ， $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则齐次线性方程组 $A^{*} x=0$ 的通解为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析矩阵A的秩和列向量关系
已知矩阵 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$ 的秩为2，且 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，因此 $\alpha_3$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示，即存在数 $k_1, k_2$ 使得 $\alpha_3 = k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2$。
提示：注意秩为2意味着列向量组的极大线性无关组包含两个向量，而 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，所以它们就是极大无关组。
步骤 2/6
目标：确定伴随矩阵的秩
对于 $n \times n$ 矩阵 $A$，若 $\operatorname{rank}(A) = n-1$，则 $\operatorname{rank}(A^*) = 1$。这里 $n=3$，$\operatorname{rank}(A)=2$，所以 $\operatorname{rank}(A^*) = 1$。
公式：当 $\operatorname{rank}(A) = n-1$ 时，$\operatorname{rank}(A^*) = 1$
提示：注意伴随矩阵的秩公式：若 $\operatorname{rank}(A) < n-1$，则 $A^*=0$；若 $\operatorname{rank}(A) = n-1$，则 $\operatorname{rank}(A^*) = 1$。
步骤 3/6
目标：计算齐次方程组解空间的维数
齐次线性方程组 $A^* x = 0$ 的解空间维数等于 $3 - \operatorname{rank}(A^*) = 3 - 1 = 2$。因此需要找到两个线性无关的解向量。
公式：解空间维数 = n - rank(A^*)
提示：解空间维数等于未知数个数减去系数矩阵的秩。
步骤 4/6
目标：利用伴随矩阵性质寻找解向量
由于 $A^* A = (\det A) I$，而 $\det A = 0$（因为秩为2），所以 $A^* A = 0$。因此 $A$ 的每一列都是 $A^* x = 0$ 的解，即 $A^* \alpha_i = 0$ 对 $i=1,2,3$ 成立。
公式：$A^* A = (\det A) I$
提示：注意 $A^* A = A A^* = (\det A) I$，当 $\det A = 0$ 时，$A^* A = 0$。
步骤 5/6
目标：确定基础解系
由 $A^* \alpha_i = 0$ 知 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 都是解。但 $\alpha_3$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示，所以 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，且均为解，因此它们构成解空间的一组基。
提示：注意 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，且个数等于解空间维数2，所以是基础解系。
步骤 6/6
目标：写出通解
齐次线性方程组 $A^* x = 0$ 的通解为 $x = c_1 \alpha_1 + c_2 \alpha_2$，其中 $c_1, c_2$ 为任意常数。
提示：通解形式为基础解系的线性组合，系数为任意常数。
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