哈尔滨工程大学 2004年高等代数第0题
📝 题目
九、设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$V$ 的保持内积的线性变换称为正交变换，对 $V$ 的任何单位向量 $\displaystyle \eta$ ，线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}_{\eta}, \mathcal{\mathcal { A } _ { \eta }}(\alpha)=\alpha-2(\eta, \alpha) \eta(\alpha \in V)$ 称为 $V$ 的镜面反射。求证：
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：验证线性性
对任意 $\alpha, \beta \in V$ 和 $k \in \mathbb{R}$，计算 $\mathcal{A}_\eta(\alpha+\beta) = (\alpha+\beta) - 2(\eta, \alpha+\beta)\eta = \alpha+\beta - 2(\eta,\alpha)\eta - 2(\eta,\beta)\eta = \mathcal{A}_\eta(\alpha) + \mathcal{A}_\eta(\beta)$，以及 $\mathcal{A}_\eta(k\alpha) = k\alpha - 2(\eta, k\alpha)\eta = k\alpha - 2k(\eta,\alpha)\eta = k\mathcal{A}_\eta(\alpha)$。因此 $\mathcal{A}_\eta$ 是线性变换。
公式：$\mathcal{A}_\eta(\alpha) = \alpha - 2(\eta, \alpha)\eta$
提示：注意内积的线性性：$(\eta, \alpha+\beta) = (\eta,\alpha)+(\eta,\beta)$，$(\eta, k\alpha)=k(\eta,\alpha)$。
步骤 2/5
目标：验证保持内积
对任意 $\alpha, \beta \in V$，计算 $(\mathcal{A}_\eta(\alpha), \mathcal{A}_\eta(\beta)) = (\alpha - 2(\eta,\alpha)\eta, \beta - 2(\eta,\beta)\eta)$。展开得 $(\alpha,\beta) - 2(\eta,\beta)(\alpha,\eta) - 2(\eta,\alpha)(\eta,\beta) + 4(\eta,\alpha)(\eta,\beta)(\eta,\eta)$。由于 $\eta$ 是单位向量，$(\eta,\eta)=1$，所以上式 $= (\alpha,\beta) - 2(\eta,\beta)(\eta,\alpha) - 2(\eta,\alpha)(\eta,\beta) + 4(\eta,\alpha)(\eta,\beta) = (\alpha,\beta)$。因此 $\mathcal{A}_\eta$ 保持内积，是正交变换。
公式：$(\mathcal{A}_\eta(\alpha), \mathcal{A}_\eta(\beta)) = (\alpha,\beta)$
提示：注意内积的对称性和双线性性，以及 $\eta$ 是单位向量。
步骤 3/5
目标：分析在 $\eta$ 上的作用
取 $\alpha = \eta$，则 $\mathcal{A}_\eta(\eta) = \eta - 2(\eta,\eta)\eta = \eta - 2\eta = -\eta$。所以 $\mathcal{A}_\eta$ 将 $\eta$ 映射为其相反向量。
公式：$\mathcal{A}_\eta(\eta) = -\eta$
提示：注意 $(\eta,\eta)=1$。
步骤 4/5
目标：分析在正交补上的作用
考虑子空间 $W = \{ \alpha \in V \mid (\eta, \alpha)=0 \}$，即 $\eta$ 的正交补。对任意 $\alpha \in W$，有 $(\eta,\alpha)=0$，则 $\mathcal{A}_\eta(\alpha) = \alpha - 2\cdot 0 \cdot \eta = \alpha$。所以 $\mathcal{A}_\eta$ 在 $W$ 上为恒等变换。
公式：$\mathcal{A}_\eta(\alpha) = \alpha$ 当 $(\eta,\alpha)=0$
提示：正交补的定义：$W = \eta^\perp$。
步骤 5/5
目标：总结镜面反射性质
由于 $V = \text{span}\{\eta\} \oplus W$，且 $\mathcal{A}_\eta$ 在 $\eta$ 方向上是 $-1$ 倍，在 $W$ 上是恒等，因此 $\mathcal{A}_\eta$ 是关于超平面 $W$ 的反射，即镜面反射。同时已证明它是正交变换。
提示：注意镜面反射的几何意义：反射超平面是 $\eta$ 的正交补。
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