哈尔滨工程大学 2004年高等代数第0题
📝 题目
2．若 $\lambda_{0} \neq 0, \lambda_{0}$ 是否也是 $\mathcal{B} \mathcal{A}$ 的特征值，说明理由．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解已知条件
已知 $\lambda_0 \neq 0$ 是 $\mathcal{A}\mathcal{B}$ 的特征值，即存在非零向量 $\alpha \in V$ 使得 $\mathcal{A}\mathcal{B}(\alpha) = \lambda_0 \alpha$。
公式：$\mathcal{A}\mathcal{B}(\alpha) = \lambda_0 \alpha$
提示：注意特征向量 $\alpha$ 非零，且 $\lambda_0 \neq 0$。
步骤 2/6
目标：左乘 $\mathcal{B}$ 得到新等式
对等式 $\mathcal{A}\mathcal{B}(\alpha) = \lambda_0 \alpha$ 两边同时左乘 $\mathcal{B}$，得 $\mathcal{B}\mathcal{A}\mathcal{B}(\alpha) = \lambda_0 \mathcal{B}(\alpha)$。
公式：$\mathcal{B}\mathcal{A}\mathcal{B}(\alpha) = \lambda_0 \mathcal{B}(\alpha)$
提示：注意线性变换的复合顺序：$\mathcal{B}\mathcal{A}\mathcal{B}$ 表示先 $\mathcal{B}$ 再 $\mathcal{A}$ 再 $\mathcal{B}$。
步骤 3/6
目标：识别 $\mathcal{B}\mathcal{A}$ 的作用
将 $\mathcal{B}\mathcal{A}\mathcal{B}(\alpha)$ 视为 $\mathcal{B}\mathcal{A}$ 作用于向量 $\mathcal{B}(\alpha)$，即 $(\mathcal{B}\mathcal{A})(\mathcal{B}(\alpha)) = \lambda_0 \mathcal{B}(\alpha)$。
公式：$(\mathcal{B}\mathcal{A})(\mathcal{B}(\alpha)) = \lambda_0 \mathcal{B}(\alpha)$
提示：注意 $\mathcal{B}\mathcal{A}$ 是一个线性变换，$\mathcal{B}(\alpha)$ 是向量。
步骤 4/6
目标：讨论 $\mathcal{B}(\alpha)$ 是否为零向量
若 $\mathcal{B}(\alpha) \neq 0$，则 $\lambda_0$ 是 $\mathcal{B}\mathcal{A}$ 的特征值，且 $\mathcal{B}(\alpha)$ 是对应的特征向量。若 $\mathcal{B}(\alpha) = 0$，则代入原式得 $\mathcal{A}\mathcal{B}(\alpha) = \mathcal{A}(0) = 0 = \lambda_0 \alpha$。
提示：需要分情况讨论，注意 $\mathcal{B}(\alpha)=0$ 的可能性。
步骤 5/6
目标：利用 $\lambda_0 \neq 0$ 排除矛盾
由 $\lambda_0 \alpha = 0$ 且 $\lambda_0 \neq 0$ 可得 $\alpha = 0$，这与 $\alpha$ 非零矛盾。因此 $\mathcal{B}(\alpha) \neq 0$ 必然成立。
公式：$\lambda_0 \neq 0 \Rightarrow \alpha = 0$
提示：注意 $\lambda_0 \neq 0$ 是关键条件，否则无法推出 $\alpha=0$。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此 $\mathcal{B}(\alpha) \neq 0$，从而 $\lambda_0$ 是 $\mathcal{B}\mathcal{A}$ 的特征值，且 $\mathcal{B}(\alpha)$ 是对应的特征向量。
提示：结论是 $\lambda_0$ 也是 $\mathcal{B}\mathcal{A}$ 的特征值。
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