哈尔滨工程大学 2004年高等代数第0题
📝 题目
三、求正交变换 $\displaystyle \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{c}u \\ v \\ w\end{array}\right)$ ，化二次型 $\displaystyle f=x^{2}+4 x y+4 x z+y^{2}+4 y z+z^{2}$ 为标准形．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出二次型的矩阵
二次型 $f = x^2 + 4xy + 4xz + y^2 + 4yz + z^2$ 的矩阵 $A$ 满足 $f = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，其中 $\mathbf{x} = (x, y, z)^T$。由于 $x_i x_j$ 项的系数为 $2a_{ij}$（$i \neq j$），因此 $a_{12} = a_{21} = 2$，$a_{13} = a_{31} = 2$，$a_{23} = a_{32} = 2$，对角元 $a_{11}=1$，$a_{22}=1$，$a_{33}=1$。故 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：二次型 $f = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j$，其中 $a_{ij} = a_{ji}$
提示：注意交叉项系数要除以2得到矩阵的对应元素。
步骤 2/7
目标：求特征值
计算特征多项式 $|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda-1 & -2 & -2 \\ -2 & \lambda-1 & -2 \\ -2 & -2 & \lambda-1 \end{vmatrix}$。将第2、3列加到第1列，得 $\begin{vmatrix} \lambda-5 & -2 & -2 \\ \lambda-5 & \lambda-1 & -2 \\ \lambda-5 & -2 & \lambda-1 \end{vmatrix}$，提取公因子 $\lambda-5$，得 $(\lambda-5) \begin{vmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 1 & \lambda-1 & -2 \\ 1 & -2 & \lambda-1 \end{vmatrix}$。将第1行乘以-1加到第2、3行，得 $(\lambda-5) \begin{vmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 0 & \lambda+1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda+1 \end{vmatrix} = (\lambda-5)(\lambda+1)^2$。令其等于0，得特征值 $\lambda_1 = \lambda_2 = -1$，$\lambda_3 = 5$。
公式：$|\lambda E - A| = 0$
提示：计算行列式时注意技巧，如行和相等时可将各列加到第一列提取公因子。
步骤 3/7
目标：求特征值-1的特征向量
解齐次线性方程组 $(-E - A)\mathbf{x} = \mathbf{0}$，即 $\begin{pmatrix} -2 & -2 & -2 \\ -2 & -2 & -2 \\ -2 & -2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$。系数矩阵的秩为1，等价于方程 $x+y+z=0$。取基础解系 $\xi_1 = (-1, 1, 0)^T$，$\xi_2 = (-1, 0, 1)^T$。
公式：$(\lambda_i E - A)\mathbf{x} = \mathbf{0}$
提示：注意基础解系中的向量线性无关，且个数等于重数。
步骤 4/7
目标：正交化特征向量
对 $\xi_1, \xi_2$ 使用施密特正交化：取 $\beta_1 = \xi_1 = (-1, 1, 0)^T$。计算 $\beta_2 = \xi_2 - \frac{(\xi_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1$。内积 $(\xi_2, \beta_1) = (-1)(-1) + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 1$，$(\beta_1, \beta_1) = (-1)^2 + 1^2 + 0^2 = 2$，故 $\beta_2 = (-1, 0, 1)^T - \frac{1}{2}(-1, 1, 0)^T = (-\frac12, -\frac12, 1)^T$。
公式：$\beta_j = \xi_j - \sum_{k=1}^{j-1} \frac{(\xi_j, \beta_k)}{(\beta_k, \beta_k)} \beta_k$
提示：正交化时注意内积的计算，避免符号错误。
步骤 5/7
目标：单位化特征向量
将正交向量组单位化：$\eta_1 = \frac{\beta_1}{\|\beta_1\|} = \frac{(-1,1,0)^T}{\sqrt{2}} = (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0)^T$。$\eta_2 = \frac{\beta_2}{\|\beta_2\|}$，$\|\beta_2\| = \sqrt{(-\frac12)^2 + (-\frac12)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac14+\frac14+1} = \sqrt{\frac32} = \frac{\sqrt{6}}{2}$，故 $\eta_2 = \frac{(-\frac12, -\frac12, 1)^T}{\sqrt{6}/2} = (-\frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}})^T$。
公式：$\eta_i = \frac{\beta_i}{\|\beta_i\|}$
提示：单位化时注意分母有理化，保持形式简洁。
步骤 6/7
目标：求特征值5的特征向量并单位化
解 $(5E - A)\mathbf{x} = \mathbf{0}$，即 $\begin{pmatrix} 4 & -2 & -2 \\ -2 & 4 & -2 \\ -2 & -2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$。系数矩阵的秩为1，等价于方程 $x=y=z$。取基础解系 $\xi_3 = (1,1,1)^T$。单位化：$\|\xi_3\| = \sqrt{3}$，得 $\eta_3 = (\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})^T$。
公式：$(\lambda_i E - A)\mathbf{x} = \mathbf{0}$
提示：不同特征值的特征向量自动正交，无需正交化。
步骤 7/7
目标：构造正交矩阵并写出标准形
取正交矩阵 $P = (\eta_1, \eta_2, \eta_3) = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$。则正交变换 $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = P \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}$ 化二次型为标准形 $f = -u^2 - v^2 + 5w^2$。
公式：$f = \lambda_1 u_1^2 + \cdots + \lambda_n u_n^2$
提示：正交矩阵的列向量是单位正交的特征向量，顺序与特征值对应。
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