哈尔滨工程大学 2004年高等代数第0题
📝 题目
1．若 $\lambda_{0} \neq 0$ ，求证 $\lambda_{0}$ 也是 $\mathcal{B} \mathcal{A}$ 的特征值，并求相应的一个特征向量；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件
设 $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\lambda_0 \neq 0$ 是 $\mathcal{A}\mathcal{B}$ 的特征值，对应的特征向量为 $\alpha$，即 $\mathcal{A}\mathcal{B}(\alpha) = \lambda_0 \alpha$，且 $\alpha \neq 0$。
公式：$\mathcal{A}\mathcal{B}(\alpha) = \lambda_0 \alpha$
提示：注意特征向量非零，且 $\lambda_0 \neq 0$ 是后续推导的关键。
步骤 2/5
目标：证明 $\mathcal{B}(\alpha) \neq 0$
假设 $\mathcal{B}(\alpha) = 0$，则 $\mathcal{A}\mathcal{B}(\alpha) = \mathcal{A}(0) = 0$，但已知 $\mathcal{A}\mathcal{B}(\alpha) = \lambda_0 \alpha$，且 $\lambda_0 \neq 0$，所以 $\lambda_0 \alpha = 0$，推出 $\alpha = 0$，与 $\alpha$ 是特征向量矛盾。因此 $\mathcal{B}(\alpha) \neq 0$。
提示：反证法，注意 $\lambda_0 \neq 0$ 的条件。
步骤 3/5
目标：构造 $\mathcal{B}\mathcal{A}$ 的候选特征向量
考虑向量 $\mathcal{B}(\alpha)$，由于 $\mathcal{B}(\alpha) \neq 0$，它可能成为 $\mathcal{B}\mathcal{A}$ 的特征向量。
提示：特征向量必须非零。
步骤 4/5
目标：计算 $\mathcal{B}\mathcal{A}$ 作用在 $\mathcal{B}(\alpha)$ 上的结果
计算 $\mathcal{B}\mathcal{A}(\mathcal{B}(\alpha))$：
$$\mathcal{B}\mathcal{A}(\mathcal{B}(\alpha)) = \mathcal{B}(\mathcal{A}\mathcal{B}(\alpha)) = \mathcal{B}(\lambda_0 \alpha) = \lambda_0 \mathcal{B}(\alpha).$$
这里用到了线性变换的结合律和线性性。
公式：$\mathcal{B}\mathcal{A}(\mathcal{B}(\alpha)) = \lambda_0 \mathcal{B}(\alpha)$
提示：注意 $\mathcal{A}\mathcal{B}(\alpha) = \lambda_0 \alpha$ 的代入。
步骤 5/5
目标：得出结论
由上式可知，$\lambda_0$ 是 $\mathcal{B}\mathcal{A}$ 的特征值，且 $\mathcal{B}(\alpha)$ 是对应的一个特征向量。
提示：注意特征值相同，特征向量是 $\mathcal{B}(\alpha)$。
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