哈尔滨工程大学 2004年高等代数第0题
📝 题目
1． $\mathcal{A}_{\eta}$ 为正交变换；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：验证线性性
对任意 $\xi, \zeta \in V$ 和 $k \in \mathbb{R}$，计算 $\mathcal{A}_\eta(\xi+\zeta) = (\xi+\zeta) - 2(\xi+\zeta, \eta)\eta = \xi+\zeta - 2(\xi,\eta)\eta - 2(\zeta,\eta)\eta = \mathcal{A}_\eta(\xi) + \mathcal{A}_\eta(\zeta)$，以及 $\mathcal{A}_\eta(k\xi) = k\xi - 2(k\xi,\eta)\eta = k\xi - 2k(\xi,\eta)\eta = k\mathcal{A}_\eta(\xi)$。因此 $\mathcal{A}_\eta$ 是线性变换。
公式：$\mathcal{A}_\eta(\xi) = \xi - 2(\xi,\eta)\eta$
提示：注意内积的线性性：$(\xi+\zeta,\eta) = (\xi,\eta)+(\zeta,\eta)$ 和 $(k\xi,\eta)=k(\xi,\eta)$。
步骤 2/5
目标：展开内积表达式
对任意 $\xi, \zeta \in V$，计算 $(\mathcal{A}_\eta(\xi), \mathcal{A}_\eta(\zeta)) = (\xi - 2(\xi,\eta)\eta, \zeta - 2(\zeta,\eta)\eta)$。利用内积的双线性性展开：$= (\xi,\zeta) - 2(\xi,\eta)(\eta,\zeta) - 2(\zeta,\eta)(\xi,\eta) + 4(\xi,\eta)(\zeta,\eta)(\eta,\eta)$。
公式：$(a-b, c-d) = (a,c) - (a,d) - (b,c) + (b,d)$
提示：展开时注意每一项的系数，避免遗漏交叉项。
步骤 3/5
目标：利用单位向量性质化简
由于 $\eta$ 是单位向量，有 $(\eta,\eta)=1$。同时内积的对称性：$(\eta,\zeta) = (\zeta,\eta)$。代入得：$(\mathcal{A}_\eta(\xi), \mathcal{A}_\eta(\zeta)) = (\xi,\zeta) - 2(\xi,\eta)(\eta,\zeta) - 2(\zeta,\eta)(\xi,\eta) + 4(\xi,\eta)(\zeta,\eta)$。
公式：$(\eta,\eta)=1$
提示：注意 $(\eta,\zeta)$ 和 $(\zeta,\eta)$ 是相等的，但写法不同，合并时需小心。
步骤 4/5
目标：合并同类项
将中间两项合并：$-2(\xi,\eta)(\eta,\zeta) - 2(\zeta,\eta)(\xi,\eta) = -4(\xi,\eta)(\zeta,\eta)$。于是 $(\mathcal{A}_\eta(\xi), \mathcal{A}_\eta(\zeta)) = (\xi,\zeta) - 4(\xi,\eta)(\zeta,\eta) + 4(\xi,\eta)(\zeta,\eta) = (\xi,\zeta)$。
提示：注意 $-2-2 = -4$，然后与最后一项 $+4$ 抵消。
步骤 5/5
目标：得出结论
由 $(\mathcal{A}_\eta(\xi), \mathcal{A}_\eta(\zeta)) = (\xi,\zeta)$ 知 $\mathcal{A}_\eta$ 保持内积。又 $\mathcal{A}_\eta$ 是线性变换，故 $\mathcal{A}_\eta$ 是正交变换。
提示：正交变换的定义：线性且保持内积。
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