哈尔滨工程大学 2005年高等代数第0题
📝 题目
1．若 $P$ 为同时包含 $\mathbb{Q}$ 和 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 的最小数域，则 $P$ 作为 $\mathbb{Q}$ 上线性空间的维数为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解问题：确定最小数域P
题目要求找出同时包含$\mathbb{Q}$和$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$的最小数域$P$。由于$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$已经包含$\mathbb{Q}$和$\sqrt[3]{2}$，且任何包含$\mathbb{Q}$和$\sqrt[3]{2}$的数域必然包含$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$，因此$P = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$。
提示：注意最小数域的定义：包含给定集合的最小子域。
步骤 2/5
目标：确定扩域的次数
我们需要计算$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]$，即$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$作为$\mathbb{Q}$上线性空间的维数。这等于$\sqrt[3]{2}$在$\mathbb{Q}$上的极小多项式的次数。
提示：扩域的次数等于极小多项式的次数。
步骤 3/5
目标：求极小多项式
$\sqrt[3]{2}$满足方程$x^3 - 2 = 0$。多项式$f(x) = x^3 - 2$在$\mathbb{Q}$上是否不可约？使用Eisenstein判别法：取素数$p=2$，$p$整除所有系数（除了首项系数），且$p^2$不整除常数项$-2$，因此$f(x)$在$\mathbb{Q}$上不可约。所以$f(x)$是$\sqrt[3]{2}$的极小多项式。
公式：Eisenstein判别法：若存在素数$p$使得$p \mid a_i$（$i=0,\dots,n-1$），$p \nmid a_n$，$p^2 \nmid a_0$，则多项式不可约。
提示：注意常数项符号：$-2$的因子$2$，$p^2=4$不整除$-2$。
步骤 4/5
目标：确定极小多项式的次数
极小多项式$x^3-2$的次数为3，因此$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}] = 3$。
提示：次数即扩域的维数。
步骤 5/5
目标：得出维数
由于$P = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$，所以$P$作为$\mathbb{Q}$上线性空间的维数为3。
提示：最终答案是一个整数。
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