📝 哈尔滨工程大学 2005年高等代数真题

1．若 $P$ 为同时包含 $\mathbb{Q}$ 和 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 的最小数域，则 $P$ 作为 $\mathbb{Q}$ 上线性空间的维数为 $\_\_\_\_$ ．

2．多项式 $x^{7}+2 x^{6}+6 x^{2}+2$ 在复数域上所有根的关系是 $\_\_\_\_$ ．

3．行列式 $\left|\begin{array}{cccc}1+a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+b & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+c & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1+d\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

4．设 $n$ 阶方阵 $A$ 的秩为 $r$ ，满足 $A^{2}=A$ ，则 $|2 E-A|=$ $\_\_\_\_$。

5．向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} \in \mathbb{R}^{4}$ 线性无关，则向量组 $\alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{2}+\alpha_{3}, \alpha_{3}+\alpha_{4}, \alpha_{4}+\alpha_{1}$ 的线性相关性为 $\_\_\_\_$。

6．设 $A, B$ 为 $m \times n$ 矩阵，则两个齐次线性方程组 $A x=0$ 和 $B x=0$ 同解的充分必要条件为

$$
r(A)=r(B)=
$$

7．设 $A$ 为 3 维线性空间 $V$ 中的线性变换，则 $\operatorname{dim} \mathcal{A}(V)$ 与 $\operatorname{dimKer} \mathcal{A}$ 的关系是 $\_\_\_\_$。

8．设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则 $A$ 与 $A^{T}$ 的关系是 $\_\_\_\_$ ．

9．设 $A$ 为 $\mathbf{n}$ 阶实反对称矩阵，$X$ 为非零的 $\mathbf{n}$ 维列向量，则 $X^{T} A X$ 为 $\_\_\_\_$。

10．$A$ 为正交阵，$\lambda$ 为其特征值，则 $\left|\lambda^{-1} E-A\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

1．求 $\mathcal{A}$ 在基 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 下的矩阵；

2．求 $\mathcal{A}$ 的特征值与特征向量。

1．求证 $\mathcal{A}-\mathcal{E}$ 与 $\mathcal{B}-\mathcal{E}$ 都可逆；

2．求证 $\mathcal{A B}=\mathcal{B A}$ ．

1．求证 $\lambda$ 为 $\mathcal{A}$ 的特征值的存在充分必要条件为 $V_{\lambda} \neq\{0\}$ ；

2．求证 $V_{\lambda}$ 为 $\mathcal{A}$ 的不变子空间；

3．求证 $V_{\lambda} \neq\{0\}$ 时， $\mathcal{A}$ 在 $V_{\lambda}$ 上没有与 $\lambda$ 不同的特征值．

七、设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$\displaystyle \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{m}$ 为 $A$ 的一切不同特征值，若非零 $n$ 维列向量 $\displaystyle \beta$ 与特征值 $\displaystyle \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{m-1}$ 的特征向量正交，求证 $\displaystyle \beta$ 为对应特征值 $\displaystyle \lambda_{m}$ 的特征向量．

三、设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 2 维线性空间 $V$ 上的非零的幂零线性变换，求证在 $V$ 的某个基下 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right)$.

九、设 $V$ 为复数域上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \lambda$ 为一个复数，令

$$
V_{\lambda}=\left\{v \in V \mid \exists k \geq 1, \text { 使 }(\mathcal{A}-\lambda \mathcal{E})^{k} v=0\right\}
$$

二、在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中，线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 定义为 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\mathcal{A} \beta_{1}=(1,0,0) \\ \mathcal{A} \beta_{2}=(3,3,2) \\ \mathcal{A} \beta_{3}=(3,3,1)\end{array}\right.$ ，其中，$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\beta_{1}=(1,0,0) \\ \beta_{2}=(1,1,0) \\ \beta_{3}=(1,1,1)\end{array}\right.$ ．

五、设 $\displaystyle \mathcal{A}, \mathcal{B}$ 为 $n$ 维向量空间 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{A B}=\mathcal{A}+\mathcal{B}$ ．

八、设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，且对任何非零 $n$ 维实列向量 $x$ ，有 $\displaystyle x^{T} A x \neq 0$ ，求证 $A$ 为正定或负定。

六、设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，求证 $\displaystyle V=\mathcal{A}(V) \oplus \operatorname{Ker}(\mathcal{A})$ 的充分必要条件是 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathcal{A}^{2}=\operatorname{Ker} \mathcal{A}$.

十、若 $\displaystyle A, B$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，试用两种不同的方法证明 $\displaystyle r(A+B) \leq r(A)+r(B)$ ．

四、用二次型的理论求三元实函数 $\displaystyle f(x, y, z)=2 x^{2}+2 x y+2 x z+2 y^{2}+2 y z+2 z^{2}$ 在单位球面上的最大值和最小值．