哈尔滨工程大学 2005年高等代数第0题
📝 题目
4．设 $n$ 阶方阵 $A$ 的秩为 $r$ ，满足 $A^{2}=A$ ，则 $|2 E-A|=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定矩阵A的性质
已知 $A^2 = A$，所以 $A$ 是幂等矩阵。幂等矩阵的特征值只能是 $0$ 或 $1$。
公式：$A^2 = A$
提示：注意幂等矩阵的定义：$A^2 = A$，特征值满足 $\lambda^2 = \lambda$，故 $\lambda=0$ 或 $1$。
步骤 2/5
目标：利用秩确定特征值的重数
由于 $\operatorname{rank}(A) = r$，且幂等矩阵可对角化，特征值 $1$ 的代数重数等于几何重数等于秩 $r$，特征值 $0$ 的代数重数为 $n-r$。
公式：$\operatorname{rank}(A) = r$
提示：幂等矩阵可对角化，特征值重数与秩的关系：$\operatorname{rank}(A) = \text{特征值1的个数}$。
步骤 3/5
目标：分析矩阵 $2E - A$ 的特征值
设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $2E - A$ 的特征值为 $2 - \lambda$。因此：
- 当 $\lambda = 1$ 时，特征值为 $2-1=1$，有 $r$ 个；
- 当 $\lambda = 0$ 时，特征值为 $2-0=2$，有 $n-r$ 个。
公式：$\mu = 2 - \lambda$
提示：注意特征值的线性变换：若 $A$ 有特征值 $\lambda$，则 $cA + dE$ 有特征值 $c\lambda + d$。
步骤 4/5
目标：计算行列式
行列式等于所有特征值的乘积，故 $|2E - A| = 1^r \cdot 2^{n-r} = 2^{n-r}$。
公式：$|B| = \prod \mu_i$
提示：行列式等于特征值乘积，注意重数。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此，$|2E - A| = 2^{n-r}$。
提示：最终结果用 $n$ 和 $r$ 表示。
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