哈尔滨工程大学 2005年高等代数第0题
📝 题目
6．设 $A, B$ 为 $m \times n$ 矩阵，则两个齐次线性方程组 $A x=0$ 和 $B x=0$ 同解的充分必要条件为
$$
r(A)=r(B)=
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解同解的定义
两个齐次线性方程组 $Ax=0$ 和 $Bx=0$ 同解，意味着它们的解集合完全相同，即 $\{x \in \mathbb{R}^n \mid Ax=0\} = \{x \in \mathbb{R}^n \mid Bx=0\}$。
提示：注意同解要求解集相等，不仅仅是包含关系。
步骤 2/6
目标：推导必要条件：秩相等
若两个方程组同解，则它们的解空间维数相等。解空间维数等于 $n - r(A)$ 和 $n - r(B)$，因此 $n - r(A) = n - r(B)$，即 $r(A) = r(B)$。
公式：$\dim(\ker(A)) = n - r(A)$
提示：解空间维数公式只适用于齐次方程组。
步骤 3/6
目标：推导必要条件：行向量组等价
同解意味着每个方程都是其他方程的线性组合。具体地，$Ax=0$ 的每个方程可由 $Bx=0$ 的方程线性表示，反之亦然。因此，$A$ 的行向量组与 $B$ 的行向量组等价，即它们生成相同的行空间。
提示：行向量组等价意味着存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B=PA$。
步骤 4/6
目标：证明充分性：若行向量组等价则同解
若存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B=PA$，则对任意 $x$，$Ax=0$ 当且仅当 $PAx=0$，即 $Bx=0$。因此解集相同。
公式：$B=PA$ 且 $P$ 可逆
提示：可逆性保证 $P$ 是双射，从而 $Ax=0$ 与 $Bx=0$ 等价。
步骤 5/6
目标：总结充分必要条件
综上，$Ax=0$ 和 $Bx=0$ 同解的充要条件是 $r(A)=r(B)$ 且 $A$ 的行向量组与 $B$ 的行向量组等价（即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B=PA$）。注意：仅秩相等不充分，需行向量组等价。
提示：反例：$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$，秩相等但解空间不同。
步骤 6/6
目标：填写题目答案
题目中填空形式为 $r(A)=r(B)=$，但实际应填写 $r(A)=r(B)$ 且 $A$ 与 $B$ 的行向量组等价。由于题目可能期望秩相等，但严格来说需补充等价条件。通常答案写为：$r(A)=r(B)$ 且存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B=PA$。
提示：注意题目可能只要求填秩，但需理解完整条件。
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