哈尔滨工程大学 2005年高等代数第0题
📝 题目
1．求证 $\mathcal{A}-\mathcal{E}$ 与 $\mathcal{B}-\mathcal{E}$ 都可逆；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析已知条件
已知 $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ 为 $n$ 阶方阵，且满足 $\mathcal{A}\mathcal{B} = \mathcal{E}$。由逆矩阵定义，$\mathcal{A}$ 与 $\mathcal{B}$ 互为逆矩阵，即 $\mathcal{A} = \mathcal{B}^{-1}$，$\mathcal{B} = \mathcal{A}^{-1}$。
公式：$\mathcal{A}\mathcal{B} = \mathcal{E}$
提示：注意：$\mathcal{A}\mathcal{B} = \mathcal{E}$ 意味着 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 都是可逆的，但并未直接给出 $\mathcal{A} - \mathcal{E}$ 和 $\mathcal{B} - \mathcal{E}$ 的可逆性。
步骤 2/5
目标：尝试推导乘积表达式
计算 $(\mathcal{A} - \mathcal{E})(\mathcal{B} - \mathcal{E})$：
$$
(\mathcal{A} - \mathcal{E})(\mathcal{B} - \mathcal{E}) = \mathcal{A}\mathcal{B} - \mathcal{A} - \mathcal{B} + \mathcal{E} = \mathcal{E} - \mathcal{A} - \mathcal{B} + \mathcal{E} = 2\mathcal{E} - (\mathcal{A} + \mathcal{B}).
$$
同理，$(\mathcal{B} - \mathcal{E})(\mathcal{A} - \mathcal{E}) = 2\mathcal{E} - (\mathcal{A} + \mathcal{B})$。
公式：$(\mathcal{A} - \mathcal{E})(\mathcal{B} - \mathcal{E}) = 2\mathcal{E} - (\mathcal{A} + \mathcal{B})$
提示：乘积结果不一定可逆，因此不能直接推断 $\mathcal{A} - \mathcal{E}$ 或 $\mathcal{B} - \mathcal{E}$ 可逆。
步骤 3/5
目标：利用逆矩阵表示
由 $\mathcal{A} = \mathcal{B}^{-1}$，可得 $\mathcal{A} - \mathcal{E} = \mathcal{B}^{-1} - \mathcal{E} = \mathcal{B}^{-1}(\mathcal{E} - \mathcal{B}) = -\mathcal{B}^{-1}(\mathcal{B} - \mathcal{E})$。由于 $\mathcal{B}^{-1}$ 可逆，$\mathcal{A} - \mathcal{E}$ 可逆当且仅当 $\mathcal{B} - \mathcal{E}$ 可逆。因此，两者可逆性等价。
公式：$\mathcal{A} - \mathcal{E} = -\mathcal{B}^{-1}(\mathcal{B} - \mathcal{E})$
提示：此步骤表明，只需证明其中一个可逆即可，但尚未证明。
步骤 4/5
目标：寻找反例
考虑特殊情况：取 $\mathcal{A} = \mathcal{E}$，则 $\mathcal{B} = \mathcal{E}$（因为 $\mathcal{A}\mathcal{B} = \mathcal{E}$ 且 $\mathcal{A}$ 可逆）。此时 $\mathcal{A} - \mathcal{E} = 0$，$\mathcal{B} - \mathcal{E} = 0$，均为零矩阵，不可逆。因此，原命题不成立。
公式：$\mathcal{A} = \mathcal{E}, \mathcal{B} = \mathcal{E}$
提示：反例说明，题目可能缺少额外条件，如 $\mathcal{A} \neq \mathcal{E}$ 或 $\mathcal{A} + \mathcal{B} = 2\mathcal{E}$ 等。
步骤 5/5
目标：总结结论
原命题“$\mathcal{A} - \mathcal{E}$ 与 $\mathcal{B} - \mathcal{E}$ 都可逆”在给定条件下不成立。反例：$\mathcal{A} = \mathcal{B} = \mathcal{E}$ 时，$\mathcal{A} - \mathcal{E} = 0$ 不可逆。
提示：注意：题目可能隐含 $\mathcal{A} \neq \mathcal{E}$ 或其他条件，但未明确给出。
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