哈尔滨工程大学 2005年高等代数第0题
📝 题目
三、设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 2 维线性空间 $V$ 上的非零的幂零线性变换，求证在 $V$ 的某个基下 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right)$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定幂零指数
由于 $\mathcal{A}$ 是 $V$ 上的非零幂零线性变换，存在正整数 $k$ 使得 $\mathcal{A}^k = 0$ 但 $\mathcal{A}^{k-1} \neq 0$。因为 $\dim V = 2$，$\mathcal{A}$ 的幂零指数不超过 $2$。若 $\mathcal{A}$ 的幂零指数为 $1$，则 $\mathcal{A}=0$，与题设非零矛盾。故幂零指数为 $2$，即 $\mathcal{A}^2 = 0$ 且 $\mathcal{A} \neq 0$。
公式：$\mathcal{A}^2 = 0$, $\mathcal{A} \neq 0$
提示：注意幂零指数不超过空间维数，且非零幂零变换的幂零指数至少为2。
步骤 2/5
目标：选取向量构造基
由于 $\mathcal{A} \neq 0$，存在向量 $\alpha \in V$ 使得 $\mathcal{A}\alpha \neq 0$。令 $\beta = \mathcal{A}\alpha$，则 $\mathcal{A}\beta = \mathcal{A}^2\alpha = 0$。
公式：$\beta = \mathcal{A}\alpha$, $\mathcal{A}\beta = 0$
提示：确保 $\alpha$ 不在 $\ker \mathcal{A}$ 中，否则 $\mathcal{A}\alpha = 0$。
步骤 3/5
目标：证明线性无关
设 $c_1\alpha + c_2\beta = 0$。两边作用 $\mathcal{A}$ 得 $c_1\mathcal{A}\alpha + c_2\mathcal{A}\beta = c_1\beta = 0$，故 $c_1 = 0$。代入原式得 $c_2\beta = 0$，由于 $\beta \neq 0$，得 $c_2 = 0$。因此 $\alpha, \beta$ 线性无关，构成 $V$ 的一组基。
公式：线性无关定义
提示：注意 $\beta \neq 0$ 是因为 $\mathcal{A}\alpha \neq 0$。
步骤 4/5
目标：计算变换在基下的矩阵
在基 $\{\alpha, \beta\}$ 下，$\mathcal{A}\alpha = \beta = 0\cdot\alpha + 1\cdot\beta$，$\mathcal{A}\beta = 0 = 0\cdot\alpha + 0\cdot\beta$。因此 $\mathcal{A}$ 的矩阵为 $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：矩阵表示
提示：注意矩阵的列对应基向量的像的坐标。
步骤 5/5
目标：总结结论
综上，存在 $V$ 的一组基使得 $\mathcal{A}$ 的矩阵为 $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$。
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