哈尔滨工程大学 2005年高等代数第0题
📝 题目
九、设 $V$ 为复数域上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \lambda$ 为一个复数，令
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V_{\lambda}=\left\{v \in V \mid \exists k \geq 1, \text { 使 }(\mathcal{A}-\lambda \mathcal{E})^{k} v=0\right\}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义广义特征子空间
定义 $V_\lambda = \{ v \in V \mid \exists k \ge 1, \text{ 使 } (\mathcal{A} - \lambda \mathcal{E})^k v = 0 \}$。该集合包含所有被 $(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{E})$ 的某次幂零化的向量。
公式：$V_\lambda = \{ v \in V \mid \exists k \ge 1, (\mathcal{A} - \lambda \mathcal{E})^k v = 0 \}$
提示：注意 $k$ 依赖于 $v$，不同向量可能对应不同的 $k$。
步骤 2/5
目标：证明 $V_\lambda$ 是子空间
首先，$0 \in V_\lambda$ 因为 $(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{E})^k 0 = 0$。其次，若 $u, v \in V_\lambda$，存在 $k_1, k_2$ 使得 $(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{E})^{k_1} u = 0$，$(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{E})^{k_2} v = 0$。取 $k = \max(k_1, k_2)$，则 $(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{E})^k (u+v) = 0$，故 $u+v \in V_\lambda$。最后，对任意 $c \in \mathbb{C}$，$(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{E})^k (cv) = c (\mathcal{A} - \lambda \mathcal{E})^k v = 0$，故 $cv \in V_\lambda$。因此 $V_\lambda$ 是 $V$ 的子空间。
提示：取 $k$ 为两个指数中的最大值时，需注意幂次较高的算子作用后结果仍为零。
步骤 3/5
目标：证明 $V_\lambda$ 是 $\mathcal{A}$-不变子空间
对任意 $v \in V_\lambda$，存在 $k$ 使得 $(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{E})^k v = 0$。考虑 $\mathcal{A}v$：由于 $\mathcal{A}$ 与 $(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{E})^k$ 可交换，有 $(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{E})^k (\mathcal{A}v) = \mathcal{A} (\mathcal{A} - \lambda \mathcal{E})^k v = 0$，所以 $\mathcal{A}v \in V_\lambda$。因此 $V_\lambda$ 在 $\mathcal{A}$ 下不变。
公式：$(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{E})^k \mathcal{A} = \mathcal{A} (\mathcal{A} - \lambda \mathcal{E})^k$
提示：交换性成立是因为 $\mathcal{A}$ 与 $\mathcal{E}$ 可交换，且多项式算子与 $\mathcal{A}$ 可交换。
步骤 4/5
目标：分析 $\mathcal{A}$ 在 $V_\lambda$ 上的限制
令 $\mathcal{B} = \mathcal{A}|_{V_\lambda}$，则 $\mathcal{B} - \lambda \mathcal{I}$ 是 $V_\lambda$ 上的线性变换。对任意 $v \in V_\lambda$，存在 $k$ 使得 $(\mathcal{B} - \lambda \mathcal{I})^k v = 0$，故 $\mathcal{B} - \lambda \mathcal{I}$ 是幂零变换。因此 $\mathcal{B}$ 的特征值全为 $\lambda$。
公式：$(\mathcal{B} - \lambda \mathcal{I})^k = 0$ 对某个 $k$ 成立（作为变换）
提示：幂零变换不一定满足 $(\mathcal{B} - \lambda \mathcal{I})^k = 0$ 对所有 $v$ 同时成立，但每个向量被某次幂零化。
步骤 5/5
目标：空间分解为广义特征子空间的直和
设 $\mathcal{A}$ 的特征多项式为 $f(t) = \prod_{i=1}^m (t - \lambda_i)^{n_i}$，其中 $\lambda_i$ 互异。则 $V$ 可分解为 $V = \bigoplus_{i=1}^m V_{\lambda_i}$，每个 $V_{\lambda_i}$ 的维数等于 $n_i$，且 $\mathcal{A}$ 在 $V_{\lambda_i}$ 上的限制的 Jordan 标准形由 $n_i$ 个 Jordan 块组成，特征值均为 $\lambda_i$。若 $\lambda$ 不是特征值，则 $V_\lambda = \{0\}$。
公式：$V = \bigoplus_{i=1}^m V_{\lambda_i}$
提示：直和分解依赖于特征多项式可分解为一次因式的乘积（复数域上总是成立）。
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