哈尔滨工程大学 2005年高等代数第0题
📝 题目
二、在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中，线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 定义为 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\mathcal{A} \beta_{1}=(1,0,0) \\ \mathcal{A} \beta_{2}=(3,3,2) \\ \mathcal{A} \beta_{3}=(3,3,1)\end{array}\right.$ ，其中，$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\beta_{1}=(1,0,0) \\ \beta_{2}=(1,1,0) \\ \beta_{3}=(1,1,1)\end{array}\right.$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出基β到标准基的过渡矩阵P
基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 到标准基 $e_1, e_2, e_3$ 的过渡矩阵 $P$ 由基向量按列组成：$P = [\beta_1, \beta_2, \beta_3] = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：过渡矩阵定义：$P = [\beta_1, \beta_2, \beta_3]$
提示：注意基向量按列排列，顺序对应基的顺序。
步骤 2/7
目标：将Aβ2和Aβ3用基β表示，求出B的列
设 $\mathcal{A}\beta_2 = a_{12}\beta_1 + a_{22}\beta_2 + a_{32}\beta_3$，即 $(3,3,2) = (a_{12}+a_{22}+a_{32}, a_{22}+a_{32}, a_{32})$。解得 $a_{32}=2$，$a_{22}=1$，$a_{12}=0$。
设 $\mathcal{A}\beta_3 = a_{13}\beta_1 + a_{23}\beta_2 + a_{33}\beta_3$，即 $(3,3,1) = (a_{13}+a_{23}+a_{33}, a_{23}+a_{33}, a_{33})$。解得 $a_{33}=1$，$a_{23}=2$，$a_{13}=0$。
又 $\mathcal{A}\beta_1 = (1,0,0) = \beta_1$，所以 $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：$\mathcal{A}(\beta_1,\beta_2,\beta_3) = (\beta_1,\beta_2,\beta_3)B$
提示：注意B的第j列是Aβj在基β下的坐标。
步骤 3/7
目标：计算P的逆矩阵
由于 $P$ 是上三角矩阵，容易求逆：$P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：上三角矩阵的逆
提示：验证 $P P^{-1} = I$ 确保正确。
步骤 4/7
目标：利用相似变换求A在标准基下的矩阵
线性变换 $\mathcal{A}$ 在标准基下的矩阵 $A$ 满足 $A = P B P^{-1}$。
公式：$A = P B P^{-1}$
提示：注意顺序：$P$ 是从基β到标准基的过渡矩阵。
步骤 5/7
目标：计算PB
$P B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：矩阵乘法
提示：逐行逐列计算，注意下标。
步骤 6/7
目标：计算A = (PB) P^{-1}
$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}$。
公式：矩阵乘法
提示：注意矩阵乘法的顺序不可交换。
步骤 7/7
目标：写出最终结果
因此，$\mathcal{A}$ 在标准基下的矩阵为 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}$。
提示：检查结果是否合理，例如可验证特征值等。
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