哈尔滨工程大学 2005年高等代数第0题
📝 题目
7．设 $A$ 为 3 维线性空间 $V$ 中的线性变换，则 $\operatorname{dim} \mathcal{A}(V)$ 与 $\operatorname{dimKer} \mathcal{A}$ 的关系是 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回顾维数公式
对于有限维线性空间 $V$ 上的线性变换 $\mathcal{A}$，有维数公式：$\dim V = \dim \mathcal{A}(V) + \dim \ker \mathcal{A}$。
公式：\dim V = \dim \mathcal{A}(V) + \dim \ker \mathcal{A}
提示：注意维数公式适用于有限维线性空间，且 $\mathcal{A}(V)$ 是像空间，$\ker \mathcal{A}$ 是核空间。
步骤 2/5
目标：代入已知维数
已知 $V$ 是3维线性空间，即 $\dim V = 3$。代入维数公式得：$3 = \dim \mathcal{A}(V) + \dim \ker \mathcal{A}$。
提示：确保 $\dim V$ 的值正确，此处为3。
步骤 3/5
目标：推导关系式
由 $3 = \dim \mathcal{A}(V) + \dim \ker \mathcal{A}$ 可得 $\dim \mathcal{A}(V) + \dim \ker \mathcal{A} = 3$。
公式：\dim \mathcal{A}(V) + \dim \ker \mathcal{A} = 3
提示：注意等式两边相等，不要写成减法。
步骤 4/5
目标：解释关系
因此，$\dim \mathcal{A}(V)$ 与 $\dim \ker \mathcal{A}$ 的和等于3。这意味着像空间的维数与核空间的维数之和为常数3。
提示：理解维数公式的几何意义：线性变换将部分维数映射到像，部分压缩到核。
步骤 5/5
目标：总结答案
最终答案为：$\dim \mathcal{A}(V) + \dim \ker \mathcal{A} = 3$。
提示：答案应简洁明确，直接给出关系式。
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