哈尔滨工程大学 2005年高等代数第0题
📝 题目
9．设 $A$ 为 $\mathbf{n}$ 阶实反对称矩阵，$X$ 为非零的 $\mathbf{n}$ 维列向量，则 $X^{T} A X$ 为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解实反对称矩阵的定义
实反对称矩阵满足 $A^T = -A$，且所有元素为实数。
公式：$A^T = -A$
提示：注意区分反对称矩阵与对称矩阵，对称矩阵满足 $A^T = A$。
步骤 2/7
目标：明确二次型 $X^T A X$ 是标量
由于 $X$ 是 $n$ 维列向量，$A$ 是 $n \times n$ 矩阵，$X^T A X$ 的结果是一个 $1 \times 1$ 矩阵，即一个实数（标量）。
提示：标量的转置等于自身。
步骤 3/7
目标：对二次型取转置
计算 $(X^T A X)^T$。利用转置性质：$(ABC)^T = C^T B^T A^T$，得到 $(X^T A X)^T = X^T A^T X$。
公式：$(X^T A X)^T = X^T A^T X$
提示：注意转置顺序：$(X^T A X)^T = X^T A^T (X^T)^T = X^T A^T X$。
步骤 4/7
目标：代入反对称矩阵性质
因为 $A^T = -A$，所以 $X^T A^T X = X^T (-A) X = -X^T A X$。
公式：$X^T A^T X = -X^T A X$
提示：注意负号的处理。
步骤 5/7
目标：利用标量转置等于自身
由于 $X^T A X$ 是标量，其转置等于自身，即 $(X^T A X)^T = X^T A X$。结合上一步结果得到 $X^T A X = -X^T A X$。
公式：$X^T A X = -X^T A X$
提示：标量的转置就是它本身，不要忘记这个性质。
步骤 6/7
目标：解方程得出结果
由 $X^T A X = -X^T A X$ 移项得 $2 X^T A X = 0$，因此 $X^T A X = 0$。
公式：$2 X^T A X = 0 \Rightarrow X^T A X = 0$
提示：注意 $X$ 非零，但结果仍为零，因为 $A$ 是反对称矩阵。
步骤 7/7
目标：得出结论
对于任意非零列向量 $X$，$X^T A X = 0$。因此填空处应填 $0$。
提示：该结论对任意实反对称矩阵成立。
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