哈尔滨工程大学 2005年高等代数第0题
📝 题目
2．求 $\mathcal{A}$ 的特征值与特征向量。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出特征多项式
对于矩阵 $\mathcal{A}$，特征多项式定义为 $\det(\mathcal{A} - \lambda I) = 0$。例如，若 $\mathcal{A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$，则 $\mathcal{A} - \lambda I = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}$，计算行列式得 $(2-\lambda)^2 - 1$。
公式：$\det(\mathcal{A} - \lambda I) = 0$
提示：注意矩阵减法：$\mathcal{A} - \lambda I$ 是对角线元素减去 $\lambda$，非对角线元素不变。
步骤 2/6
目标：展开特征多项式并求解特征值
展开行列式：$(2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3$。令其等于0，得 $\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$，因式分解为 $(\lambda-1)(\lambda-3)=0$，解得特征值 $\lambda_1=1$，$\lambda_2=3$。
公式：$(\lambda-1)(\lambda-3)=0$
提示：因式分解时注意符号，避免计算错误。
步骤 3/6
目标：对每个特征值，写出齐次线性方程组
对于 $\lambda=1$，代入 $\mathcal{A} - \lambda I$ 得 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$，方程组为 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$。
公式：$(\mathcal{A} - \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$
提示：确保矩阵减法正确，避免符号错误。
步骤 4/6
目标：求解齐次方程组，得到基础解系
由 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \mathbf{0}$ 得 $x_1 + x_2 = 0$，即 $x_1 = -x_2$。取 $x_2 = 1$，得 $x_1 = -1$，基础解系为 $\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$。所有特征向量为 $k \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$，$k \neq 0$。
提示：基础解系中自由变量通常取1，但需注意非零向量。
步骤 5/6
目标：对另一个特征值重复步骤3-4
对于 $\lambda=3$，$\mathcal{A} - 3I = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$，方程组为 $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \mathbf{0}$，得 $-x_1 + x_2 = 0$ 即 $x_1 = x_2$。取 $x_2=1$，得 $x_1=1$，基础解系 $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$，特征向量 $k \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$，$k \neq 0$。
提示：注意系数矩阵可能相同，但解不同。
步骤 6/6
目标：总结特征值与特征向量
矩阵 $\mathcal{A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ 的特征值为 $\lambda_1=1$，对应特征向量 $k \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$；$\lambda_2=3$，对应特征向量 $k \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$，其中 $k$ 为非零常数。
提示：特征向量不能为零向量，且需注明 $k \neq 0$。
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