哈尔滨工程大学 2005年高等代数第0题
📝 题目
六、设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，求证 $\displaystyle V=\mathcal{A}(V) \oplus \operatorname{Ker}(\mathcal{A})$ 的充分必要条件是 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathcal{A}^{2}=\operatorname{Ker} \mathcal{A}$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：必要性：证明若V=𝒜(V)⊕Ker(𝒜)，则Ker(𝒜²)⊆Ker(𝒜)
设 $x \in \ker \mathcal{A}^2$，即 $\mathcal{A}^2 x = 0$。则 $\mathcal{A}x \in \mathcal{A}(V)$，且 $\mathcal{A}(\mathcal{A}x)=0$，故 $\mathcal{A}x \in \ker \mathcal{A}$。由直和条件 $\mathcal{A}(V) \cap \ker \mathcal{A} = \{0\}$，得 $\mathcal{A}x = 0$，即 $x \in \ker \mathcal{A}$。因此 $\ker \mathcal{A}^2 \subseteq \ker \mathcal{A}$。
公式：$\mathcal{A}^2 x = 0$
提示：注意直和定义中交空间为0，这是关键。
步骤 2/5
目标：必要性：证明Ker(𝒜)⊆Ker(𝒜²)，从而相等
显然 $\ker \mathcal{A} \subseteq \ker \mathcal{A}^2$，因为若 $\mathcal{A}x=0$，则 $\mathcal{A}^2 x = \mathcal{A}(\mathcal{A}x)=0$。结合上一步，得 $\ker \mathcal{A}^2 = \ker \mathcal{A}$。
提示：包含关系是平凡的，但需注意方向。
步骤 3/5
目标：充分性：证明𝒜(V)∩Ker(𝒜)={0}
设 $y \in \mathcal{A}(V) \cap \ker \mathcal{A}$，则存在 $x \in V$ 使得 $y = \mathcal{A}x$，且 $\mathcal{A}y = 0$。于是 $\mathcal{A}^2 x = \mathcal{A}(\mathcal{A}x) = \mathcal{A}y = 0$，故 $x \in \ker \mathcal{A}^2 = \ker \mathcal{A}$，从而 $y = \mathcal{A}x = 0$。因此交空间为0。
公式：$\mathcal{A}^2 x = \mathcal{A}y = 0$
提示：注意利用条件 $\ker \mathcal{A}^2 = \ker \mathcal{A}$ 推出 $x \in \ker \mathcal{A}$。
步骤 4/5
目标：充分性：利用维数公式证明V=𝒜(V)+Ker(𝒜)
由维数公式：$\dim V = \dim \mathcal{A}(V) + \dim \ker \mathcal{A} - \dim(\mathcal{A}(V) \cap \ker \mathcal{A})$。已证交空间为0，故 $\dim V = \dim \mathcal{A}(V) + \dim \ker \mathcal{A}$。因此 $V = \mathcal{A}(V) + \ker \mathcal{A}$，且和为直和。
公式：$\dim V = \dim \mathcal{A}(V) + \dim \ker \mathcal{A}$
提示：维数公式是线性空间的基本结论，注意直和条件等价于维数相加且交为0。
步骤 5/5
目标：总结：命题得证
综上，$V = \mathcal{A}(V) \oplus \ker \mathcal{A}$ 当且仅当 $\ker \mathcal{A}^2 = \ker \mathcal{A}$。
提示：注意充要条件的双向证明。
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