哈尔滨工程大学 2005年高等代数第0题
📝 题目
2．求证 $V_{\lambda}$ 为 $\mathcal{A}$ 的不变子空间；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确特征子空间定义
设 $\mathcal{A}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，$\lambda$ 是 $\mathcal{A}$ 的一个特征值，定义特征子空间 $V_\lambda = \{ \xi \in V \mid \mathcal{A}\xi = \lambda \xi \}$。
公式：$V_\lambda = \{ \xi \in V \mid \mathcal{A}\xi = \lambda \xi \}$
提示：注意特征子空间包含所有满足 $\mathcal{A}\xi = \lambda \xi$ 的向量，包括零向量。
步骤 2/7
目标：回忆不变子空间定义
子空间 $W$ 称为 $\mathcal{A}$ 的不变子空间，如果对任意 $\xi \in W$，有 $\mathcal{A}\xi \in W$。
公式：$\forall \xi \in W, \mathcal{A}\xi \in W$
提示：不变子空间要求变换后的向量仍在子空间中。
步骤 3/7
目标：任取特征子空间中的向量
任取 $\xi \in V_\lambda$，由定义知 $\mathcal{A}\xi = \lambda \xi$。
公式：$\mathcal{A}\xi = \lambda \xi$
提示：注意 $\xi$ 是特征向量或零向量。
步骤 4/7
目标：计算 $\mathcal{A}\xi$ 的像
计算 $\mathcal{A}(\mathcal{A}\xi)$：$\mathcal{A}(\mathcal{A}\xi) = \mathcal{A}(\lambda \xi) = \lambda \mathcal{A}\xi$。
公式：$\mathcal{A}(\mathcal{A}\xi) = \lambda \mathcal{A}\xi$
提示：这里利用了线性变换的线性性：$\mathcal{A}(\lambda \xi) = \lambda \mathcal{A}\xi$。
步骤 5/7
目标：代入特征值关系
将 $\mathcal{A}\xi = \lambda \xi$ 代入上式：$\mathcal{A}(\mathcal{A}\xi) = \lambda (\lambda \xi) = \lambda^2 \xi$。
公式：$\mathcal{A}(\mathcal{A}\xi) = \lambda^2 \xi$
提示：注意 $\lambda$ 是标量，乘法可交换。
步骤 6/7
目标：验证 $\mathcal{A}\xi$ 满足特征子空间条件
要证明 $\mathcal{A}\xi \in V_\lambda$，需验证 $\mathcal{A}(\mathcal{A}\xi) = \lambda (\mathcal{A}\xi)$。计算右边：$\lambda (\mathcal{A}\xi) = \lambda (\lambda \xi) = \lambda^2 \xi$，与左边相等。
公式：$\mathcal{A}(\mathcal{A}\xi) = \lambda (\mathcal{A}\xi)$
提示：注意验证等式时，左右两边分别计算，确保相等。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此 $\mathcal{A}\xi \in V_\lambda$，由 $\xi$ 的任意性知 $V_\lambda$ 是 $\mathcal{A}$ 的不变子空间。
提示：结论成立的关键是特征子空间的定义和线性变换的性质。
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