哈尔滨工程大学 2005年高等代数第0题
📝 题目
3．求证 $V_{\lambda} \neq\{0\}$ 时， $\mathcal{A}$ 在 $V_{\lambda}$ 上没有与 $\lambda$ 不同的特征值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和待证结论
设 $\mathcal{A}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，$\lambda$ 是 $\mathcal{A}$ 的一个特征值，$V_\lambda = \{ \xi \in V \mid \mathcal{A}\xi = \lambda \xi \}$ 是特征子空间，且 $V_\lambda \neq \{0\}$。需要证明：$\mathcal{A}$ 在 $V_\lambda$ 上没有与 $\lambda$ 不同的特征值。
提示：注意特征子空间的定义：所有属于特征值 $\lambda$ 的特征向量加上零向量构成的子空间。
步骤 2/6
目标：反证法假设
假设存在 $\mu \neq \lambda$ 以及非零向量 $\xi \in V_\lambda$，使得 $\mathcal{A}\xi = \mu \xi$。
提示：反证法假设中，$\xi$ 必须是非零向量，因为特征向量定义为非零向量。
步骤 3/6
目标：利用特征子空间性质
由于 $\xi \in V_\lambda$，根据特征子空间的定义，有 $\mathcal{A}\xi = \lambda \xi$。
公式：$\mathcal{A}\xi = \lambda \xi$
提示：特征子空间中的向量都满足该等式。
步骤 4/6
目标：联立两个等式
由假设和特征子空间性质，得到 $\lambda \xi = \mu \xi$，即 $(\lambda - \mu)\xi = 0$。
公式：$(\lambda - \mu)\xi = 0$
提示：注意向量等式，两边同时减去 $\mu\xi$。
步骤 5/6
目标：利用向量非零推出矛盾
因为 $\xi \neq 0$，且 $\lambda - \mu$ 是数，所以 $\lambda - \mu = 0$，即 $\lambda = \mu$，与假设 $\mu \neq \lambda$ 矛盾。
提示：数乘向量为零向量，若向量非零则系数必为零。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此假设不成立，故 $\mathcal{A}$ 在 $V_\lambda$ 上没有与 $\lambda$ 不同的特征值，即 $\mathcal{A}$ 在 $V_\lambda$ 上的特征值只能是 $\lambda$。
提示：结论：特征子空间 $V_\lambda$ 是 $\mathcal{A}$ 的不变子空间，且限制在 $V_\lambda$ 上的线性变换只有特征值 $\lambda$。
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