哈尔滨工程大学 2005年高等代数第0题
📝 题目
四、用二次型的理论求三元实函数 $\displaystyle f(x, y, z)=2 x^{2}+2 x y+2 x z+2 y^{2}+2 y z+2 z^{2}$ 在单位球面上的最大值和最小值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将二次型写成矩阵形式
给定二次型 $f(x,y,z)=2x^2+2xy+2xz+2y^2+2yz+2z^2$，其矩阵形式为 $f(\mathbf{x})=\mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，其中 $\mathbf{x}=(x,y,z)^T$，矩阵 $A$ 的元素由二次型系数确定：$A_{ii}$ 为 $x_i^2$ 系数，$A_{ij}=A_{ji}$ 为 $x_i x_j$ 系数的一半。因此 $$A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.$$
公式：二次型矩阵：$A_{ii}=a_{ii}$，$A_{ij}=a_{ij}/2$（$i\neq j$）
提示：注意交叉项系数要除以2，且矩阵是对称的。
步骤 2/3
目标：求矩阵A的特征值
特征多项式为 $\det(\lambda I - A)=0$，即 $$\begin{vmatrix} \lambda-2 & -1 & -1 \\ -1 & \lambda-2 & -1 \\ -1 & -1 & \lambda-2 \end{vmatrix}=0.$$ 将第2、3列加到第1列，得 $$\begin{vmatrix} \lambda-4 & -1 & -1 \\ \lambda-4 & \lambda-2 & -1 \\ \lambda-4 & -1 & \lambda-2 \end{vmatrix}=0.$$ 提出公因子 $\lambda-4$，得 $$(\lambda-4)\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & \lambda-2 & -1 \\ 1 & -1 & \lambda-2 \end{vmatrix}=0.$$ 然后第2行减第1行，第3行减第1行，得 $$(\lambda-4)\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda-1 \end{vmatrix}=(\lambda-4)(\lambda-1)^2=0.$$ 因此特征值为 $\lambda_1=4$（单重），$\lambda_2=\lambda_3=1$（二重）。
公式：特征多项式 $\det(\lambda I - A)=0$
提示：行列式计算时注意行变换技巧，避免计算错误。
步骤 3/3
目标：利用特征值求最值
在单位球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 上，实对称二次型的最大值和最小值分别等于矩阵 $A$ 的最大特征值和最小特征值。由于特征值均为正，最小特征值为 $1$，最大特征值为 $4$。因此 $f(x,y,z)$ 在单位球面上的最大值为 $4$，最小值为 $1$。
公式：对于实对称矩阵，在单位球面上 $\max \mathbf{x}^T A \mathbf{x} = \lambda_{\max}$，$\min = \lambda_{\min}$
提示：注意单位球面条件，且二次型矩阵必须是对称的。
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