哈尔滨工程大学 2005年高等代数第0题
📝 题目
1．求证 $\lambda$ 为 $\mathcal{A}$ 的特征值的存在充分必要条件为 $V_{\lambda} \neq\{0\}$ ；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解特征值与特征子空间的定义
设 $\mathcal{A}$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上线性空间 $V$ 上的线性变换。对于 $\lambda \in \mathbb{F}$，若存在非零向量 $\xi \in V$ 使得 $\mathcal{A}\xi = \lambda \xi$，则称 $\lambda$ 是 $\mathcal{A}$ 的特征值，$\xi$ 是对应于 $\lambda$ 的特征向量。特征子空间 $V_\lambda = \{\xi \in V \mid \mathcal{A}\xi = \lambda \xi\}$。
公式：$\mathcal{A}\xi = \lambda \xi$
提示：注意特征向量必须非零，特征子空间包含零向量。
步骤 2/4
目标：证明必要性：特征值推出特征子空间非平凡
假设 $\lambda$ 是 $\mathcal{A}$ 的特征值，则存在非零向量 $\xi \in V$ 满足 $\mathcal{A}\xi = \lambda \xi$。由特征子空间的定义，$\xi \in V_\lambda$，且 $\xi \neq 0$，因此 $V_\lambda$ 至少包含一个非零向量，故 $V_\lambda \neq \{0\}$。
提示：注意非零向量的存在性，这是关键。
步骤 3/4
目标：证明充分性：特征子空间非平凡推出特征值
假设 $V_\lambda \neq \{0\}$，则存在非零向量 $\xi \in V_\lambda$。根据特征子空间的定义，$\xi$ 满足 $\mathcal{A}\xi = \lambda \xi$。由于 $\xi \neq 0$，由特征值的定义，$\lambda$ 是 $\mathcal{A}$ 的特征值。
提示：注意 $V_\lambda$ 中的向量自动满足特征方程。
步骤 4/4
目标：总结充要条件
综合必要性和充分性，得到 $\lambda$ 是 $\mathcal{A}$ 的特征值当且仅当 $V_\lambda \neq \{0\}$。
提示：充要条件证明需双向进行。
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