哈尔滨工程大学 2005年高等代数第0题
📝 题目
5．向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} \in \mathbb{R}^{4}$ 线性无关，则向量组 $\alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{2}+\alpha_{3}, \alpha_{3}+\alpha_{4}, \alpha_{4}+\alpha_{1}$ 的线性相关性为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义新向量组
设 $\beta_1 = \alpha_1 + \alpha_2$, $\beta_2 = \alpha_2 + \alpha_3$, $\beta_3 = \alpha_3 + \alpha_4$, $\beta_4 = \alpha_4 + \alpha_1$。需要判断向量组 $\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$ 的线性相关性。
提示：注意新向量组由原向量线性组合而成，要利用原向量组的线性无关性。
步骤 2/5
目标：构造线性组合并整理
考虑线性组合 $k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + k_3\beta_3 + k_4\beta_4 = 0$，即 $$k_1(\alpha_1+\alpha_2) + k_2(\alpha_2+\alpha_3) + k_3(\alpha_3+\alpha_4) + k_4(\alpha_4+\alpha_1) = 0.$$ 整理得 $$(k_1+k_4)\alpha_1 + (k_1+k_2)\alpha_2 + (k_2+k_3)\alpha_3 + (k_3+k_4)\alpha_4 = 0.$$
提示：合并同类项时注意每个 $\alpha_i$ 的系数。
步骤 3/5
目标：利用线性无关性得到齐次线性方程组
由于 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 线性无关，系数必须全为零：\begin{cases} k_1 + k_4 = 0, \\ k_1 + k_2 = 0, \\ k_2 + k_3 = 0, \\ k_3 + k_4 = 0. \end{cases}
提示：线性无关意味着零向量只有零系数表示，所以每个系数为0。
步骤 4/5
目标：解方程组
由第一式得 $k_4 = -k_1$，代入第四式得 $k_3 - k_1 = 0$，即 $k_3 = k_1$；由第二式得 $k_2 = -k_1$；代入第三式得 $-k_1 + k_1 = 0$，恒成立。所以解为 $k_1 = t$, $k_2 = -t$, $k_3 = t$, $k_4 = -t$，其中 $t$ 为任意常数。
提示：方程组有无穷多解，说明存在非零解。
步骤 5/5
目标：判断线性相关性
取 $t=1$ 得非零解 $(1,-1,1,-1)$，即存在不全为零的系数使得线性组合为零，因此向量组 $\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4$ 线性相关。
提示：只要存在一组不全为零的系数使线性组合为零，则向量组线性相关。
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