哈尔滨工程大学 2005年高等代数第0题
📝 题目
八、设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，且对任何非零 $n$ 维实列向量 $x$ ，有 $\displaystyle x^{T} A x \neq 0$ ，求证 $A$ 为正定或负定。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用实对称矩阵的正交对角化
由于 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$，其中 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值（实数）。
公式：Q^T A Q = \Lambda
提示：正交矩阵满足 $Q^T = Q^{-1}$，且特征值均为实数。
步骤 2/6
目标：反证法假设
假设 $A$ 既不是正定也不是负定，则存在特征值 $\lambda_i > 0$ 和 $\lambda_j < 0$。
提示：正定要求所有特征值大于0，负定要求所有特征值小于0。
步骤 3/6
目标：构造正负二次型的向量
取 $x = Q e_i$，其中 $e_i$ 是第 $i$ 个标准基向量，则 $x \neq 0$，且 $x^T A x = e_i^T Q^T A Q e_i = e_i^T \Lambda e_i = \lambda_i > 0$。类似地，取 $y = Q e_j$，则 $y^T A y = \lambda_j < 0$。
公式：x^T A x = \lambda_i, \quad y^T A y = \lambda_j
提示：注意 $x$ 和 $y$ 是正交矩阵的列，因此线性无关。
步骤 4/6
目标：构造连续函数并应用介值定理
考虑连续函数 $f(t) = (t x + (1-t) y)^T A (t x + (1-t) y)$，其中 $t \in [0,1]$。由于 $f(0) = y^T A y < 0$，$f(1) = x^T A x > 0$，由介值定理，存在 $t_0 \in (0,1)$ 使得 $f(t_0) = 0$。
公式：f(t) = (t x + (1-t) y)^T A (t x + (1-t) y)
提示：介值定理要求函数连续，$f(t)$ 是二次型，显然是连续的。
步骤 5/6
目标：导出矛盾
令 $z = t_0 x + (1-t_0) y$，则 $z \neq 0$（因为 $x$ 和 $y$ 线性无关），且 $z^T A z = 0$，与题设“对任何非零 $x$ 有 $x^T A x \neq 0$”矛盾。
公式：z^T A z = 0
提示：线性无关性保证 $z \neq 0$。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，假设不成立，$A$ 的特征值要么全正，要么全负，即 $A$ 正定或负定。
提示：注意正定和负定是互斥的，但题目只要求证明其中之一成立。
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