哈尔滨工程大学 2005年高等代数第0题
📝 题目
十、若 $\displaystyle A, B$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，试用两种不同的方法证明 $\displaystyle r(A+B) \leq r(A)+r(B)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：方法一：利用向量组线性表示
设矩阵 $A$ 和 $B$ 的列向量组分别为 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ 和 $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n$。则 $A+B$ 的列向量为 $\alpha_i+\beta_i$，$i=1,\dots,n$。
提示：注意列向量组的对应关系，$A+B$ 的每一列是 $A$ 和 $B$ 对应列的和。
步骤 2/8
目标：构造并集向量组
考虑向量组 $\{\alpha_1,\dots,\alpha_n,\beta_1,\dots,\beta_n\}$，其秩记为 $r(\alpha_1,\dots,\alpha_n,\beta_1,\dots,\beta_n)$。由于该向量组包含 $A$ 和 $B$ 的所有列向量，其秩不超过 $r(A)+r(B)$，即 $r(\alpha_1,\dots,\alpha_n,\beta_1,\dots,\beta_n) \leq r(A)+r(B)$。
提示：两个向量组并集的秩不一定等于秩的和，但一定不超过秩的和，因为极大无关组可能重叠。
步骤 3/8
目标：证明 $A+B$ 的列向量可由并集向量组线性表示
对于 $A+B$ 的任一列向量 $\alpha_i+\beta_i$，有 $\alpha_i+\beta_i = 1\cdot\alpha_i + 1\cdot\beta_i$，因此它可由 $\alpha_i$ 和 $\beta_i$ 线性表示，从而可由整个并集向量组线性表示。
提示：线性表示系数为1，注意是组合系数。
步骤 4/8
目标：得出秩的不等式
由于 $A+B$ 的列向量组可由并集向量组线性表示，故 $r(A+B) \leq r(\alpha_1,\dots,\alpha_n,\beta_1,\dots,\beta_n) \leq r(A)+r(B)$。
公式：若向量组I可由向量组II线性表示，则秩(I) ≤ 秩(II)
提示：线性表示不改变秩的大小关系，但注意是小于等于。
步骤 5/8
目标：方法二：利用分块矩阵
考虑分块矩阵 $\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix}$，其秩为 $r(A)+r(B)$，因为分块对角矩阵的秩等于各块秩之和。
公式：$r\left(\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix}\right) = r(A)+r(B)$
提示：分块对角矩阵的秩直接相加，前提是零矩阵块。
步骤 6/8
目标：构造矩阵乘法表示 $A+B$
构造矩阵乘法：$A+B = \begin{pmatrix} I_m & I_m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_n \\ I_n \end{pmatrix}$，其中 $I_m$ 和 $I_n$ 分别为 $m$ 阶和 $n$ 阶单位矩阵。验证：$\begin{pmatrix} I_m & I_m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \end{pmatrix}$，再乘以 $\begin{pmatrix} I_n \\ I_n \end{pmatrix}$ 得 $A+B$。
提示：注意矩阵乘法的维度匹配：$\begin{pmatrix} I_m & I_m \end{pmatrix}$ 是 $m \times 2m$，$\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix}$ 是 $2m \times 2n$，$\begin{pmatrix} I_n \\ I_n \end{pmatrix}$ 是 $2n \times n$，乘积为 $m \times n$。
步骤 7/8
目标：利用秩的不等式性质
由于矩阵乘积的秩不超过任一因子的秩，有 $r(A+B) \leq r\left(\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix}\right) = r(A)+r(B)$。
公式：$r(PQ) \leq \min\{r(P), r(Q)\}$
提示：乘积的秩不超过各因子秩的最小值，这里取中间矩阵的秩。
步骤 8/8
目标：结论
综上，两种方法均证明 $r(A+B) \leq r(A)+r(B)$。
提示：该不等式是矩阵秩的基本性质之一。
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