哈尔滨工程大学 2005年高等代数第0题
📝 题目
五、设 $\displaystyle \mathcal{A}, \mathcal{B}$ 为 $n$ 维向量空间 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{A B}=\mathcal{A}+\mathcal{B}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：移项并因式分解
由条件 $\mathcal{A B} = \mathcal{A} + \mathcal{B}$，移项得 $\mathcal{A B} - \mathcal{A} - \mathcal{B} = \mathcal{O}$。注意到 $\mathcal{A B} - \mathcal{A} - \mathcal{B} = (\mathcal{A} - \mathcal{I})(\mathcal{B} - \mathcal{I}) - \mathcal{I}$，因此 $(\mathcal{A} - \mathcal{I})(\mathcal{B} - \mathcal{I}) = \mathcal{I}$。
公式：$(\mathcal{A} - \mathcal{I})(\mathcal{B} - \mathcal{I}) = \mathcal{I}$
提示：注意恒等变换 $\mathcal{I}$ 的引入，因式分解时不要遗漏常数项。
步骤 2/6
目标：验证因式分解的正确性
展开 $(\mathcal{A} - \mathcal{I})(\mathcal{B} - \mathcal{I}) = \mathcal{A B} - \mathcal{A} - \mathcal{B} + \mathcal{I}$。由条件知 $\mathcal{A B} - \mathcal{A} - \mathcal{B} = \mathcal{O}$，所以 $\mathcal{A B} - \mathcal{A} - \mathcal{B} + \mathcal{I} = \mathcal{I}$，即 $(\mathcal{A} - \mathcal{I})(\mathcal{B} - \mathcal{I}) = \mathcal{I}$。
提示：展开时注意线性变换的乘法顺序，$\mathcal{A B}$ 表示先 $\mathcal{B}$ 后 $\mathcal{A}$。
步骤 3/6
目标：推出可逆性
由 $(\mathcal{A} - \mathcal{I})(\mathcal{B} - \mathcal{I}) = \mathcal{I}$ 可知 $\mathcal{A} - \mathcal{I}$ 是可逆的，且其逆为 $\mathcal{B} - \mathcal{I}$，即 $(\mathcal{A} - \mathcal{I})^{-1} = \mathcal{B} - \mathcal{I}$。
公式：$(\mathcal{A} - \mathcal{I})^{-1} = \mathcal{B} - \mathcal{I}$
提示：可逆性要求存在双边逆，这里只得到右逆，但由有限维空间性质，右逆也是左逆。
步骤 4/6
目标：推导交换性
由于 $\mathcal{A} - \mathcal{I}$ 可逆，其逆 $\mathcal{B} - \mathcal{I}$ 也是可逆的，且 $(\mathcal{B} - \mathcal{I})(\mathcal{A} - \mathcal{I}) = \mathcal{I}$。展开得 $\mathcal{B A} - \mathcal{B} - \mathcal{A} + \mathcal{I} = \mathcal{I}$，即 $\mathcal{B A} = \mathcal{A} + \mathcal{B}$。因此 $\mathcal{A B} = \mathcal{B A}$，即 $\mathcal{A}$ 与 $\mathcal{B}$ 可交换。
公式：$\mathcal{B A} = \mathcal{A} + \mathcal{B}$
提示：注意这里利用了可逆变换的逆也是可逆的，且左逆等于右逆。
步骤 5/6
目标：用 $\mathcal{A}$ 表示 $\mathcal{B}$
由 $(\mathcal{A} - \mathcal{I})^{-1} = \mathcal{B} - \mathcal{I}$ 得 $\mathcal{B} = \mathcal{I} + (\mathcal{A} - \mathcal{I})^{-1}$。
公式：$\mathcal{B} = \mathcal{I} + (\mathcal{A} - \mathcal{I})^{-1}$
提示：注意逆变换的存在性，$\mathcal{A} - \mathcal{I}$ 必须可逆。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，$\mathcal{A}$ 与 $\mathcal{B}$ 可交换，且 $\mathcal{B}$ 由 $\mathcal{A}$ 唯一确定：$\mathcal{B} = \mathcal{I} + (\mathcal{A} - \mathcal{I})^{-1}$。
提示：该结论表明 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 满足对称关系。
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