哈尔滨工程大学 2005年高等代数第0题
📝 题目
3．行列式 $\left|\begin{array}{cccc}1+a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+b & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+c & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1+d\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：列和变换
将第2、3、4列都加到第1列，得到新行列式：
\[
\begin{vmatrix}
1+a+1+1+1 & 1 & 1 & 1 \\
1+1+b+1+1 & 1+b & 1 & 1 \\
1+1+1+c+1 & 1 & 1+c & 1 \\
1+1+1+1+d & 1 & 1 & 1+d
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
4+a & 1 & 1 & 1 \\
4+b & 1+b & 1 & 1 \\
4+c & 1 & 1+c & 1 \\
4+d & 1 & 1 & 1+d
\end{vmatrix}
\]
提示：注意列和时，第1列每个元素都加上了其他三列的对应元素，不要遗漏。
步骤 2/8
目标：行变换消去1
将第1列乘以-1加到第2、3、4列，得到：
\[
\begin{vmatrix}
4+a & 1-(4+a) & 1-(4+a) & 1-(4+a) \\
4+b & 1+b-(4+b) & 1-(4+b) & 1-(4+b) \\
4+c & 1-(4+c) & 1+c-(4+c) & 1-(4+c) \\
4+d & 1-(4+d) & 1-(4+d) & 1+d-(4+d)
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
4+a & -3-a & -3-a & -3-a \\
4+b & -3 & -3-b & -3-b \\
4+c & -3-c & -3 & -3-c \\
4+d & -3-d & -3-d & -3
\end{vmatrix}
\]
提示：注意符号变化：1-(4+a) = -3-a，不要算错。
步骤 3/8
目标：提取公因子
将第2、3、4列分别提取公因子-1，得到：
\[
\begin{vmatrix}
4+a & -(3+a) & -(3+a) & -(3+a) \\
4+b & -3 & -(3+b) & -(3+b) \\
4+c & -(3+c) & -3 & -(3+c) \\
4+d & -(3+d) & -(3+d) & -3
\end{vmatrix}
\]
提示：提取公因子时注意符号，每列提取-1后，行列式值乘以(-1)^3 = -1，但这里只是形式变换，未改变行列式值。
步骤 4/8
目标：列消元
将第2列乘以-1加到第3、4列，得到：
\[
\begin{vmatrix}
4+a & -(3+a) & 0 & 0 \\
4+b & -3 & -b & -b \\
4+c & -(3+c) & c & 0 \\
4+d & -(3+d) & 0 & d
\end{vmatrix}
\]
再将第3列乘以-1加到第4列，得到：
\[
\begin{vmatrix}
4+a & -(3+a) & 0 & 0 \\
4+b & -3 & -b & 0 \\
4+c & -(3+c) & c & -c \\
4+d & -(3+d) & 0 & d
\end{vmatrix}
\]
提示：列消元时，注意目标列的变化，例如第3列减去第2列后，第4列再减去第3列（新值）。
步骤 5/8
目标：按第一行展开
按第1行展开行列式，得到：
\[
(4+a) \begin{vmatrix}
-3 & -b & 0 \\
-(3+c) & c & -c \\
-(3+d) & 0 & d
\end{vmatrix}
- (-(3+a)) \begin{vmatrix}
4+b & -b & 0 \\
4+c & c & -c \\
4+d & 0 & d
\end{vmatrix}
\]
公式：拉普拉斯展开
提示：注意展开时符号：元素a_{11}的代数余子式符号为正，a_{12}的代数余子式符号为负。
步骤 6/8
目标：计算第一个三阶行列式
计算第一个三阶行列式：
\[
\begin{vmatrix}
-3 & -b & 0 \\
-(3+c) & c & -c \\
-(3+d) & 0 & d
\end{vmatrix}
= (-3) \begin{vmatrix} c & -c \\ 0 & d \end{vmatrix}
- (-b) \begin{vmatrix} -(3+c) & -c \\ -(3+d) & d \end{vmatrix}
+ 0 \cdot \begin{vmatrix} -(3+c) & c \\ -(3+d) & 0 \end{vmatrix}
= (-3)(cd) + b[-(3+c)d - (-c)(-(3+d))] \\
= -3cd + b[-(3+c)d - c(3+d)] = -3cd + b[-3d - cd - 3c - cd] \\
= -3cd - 3b(d+c) - 2bcd
\]
公式：三阶行列式展开公式
提示：注意符号：计算二阶子式时，注意负号的处理。
步骤 7/8
目标：计算第二个三阶行列式
计算第二个三阶行列式：
\[
\begin{vmatrix}
4+b & -b & 0 \\
4+c & c & -c \\
4+d & 0 & d
\end{vmatrix}
= (4+b) \begin{vmatrix} c & -c \\ 0 & d \end{vmatrix}
- (-b) \begin{vmatrix} 4+c & -c \\ 4+d & d \end{vmatrix}
+ 0 \cdot \begin{vmatrix} 4+c & c \\ 4+d & 0 \end{vmatrix}
= (4+b)cd + b[(4+c)d - (-c)(4+d)] \\
= (4+b)cd + b[(4+c)d + c(4+d)] = (4+b)cd + b[4d+cd+4c+cd] \\
= (4+b)cd + b[4(c+d)+2cd] = 4cd + bcd + 4b(c+d) + 2bcd \\
= 4cd + 4b(c+d) + 3bcd
\]
公式：三阶行列式展开公式
提示：注意展开时，第二项是减去(-b)乘以子式，即加上b乘以子式。
步骤 8/8
目标：合并结果
将两个三阶行列式的结果代入原式：
\[
(4+a)(-3cd - 3b(c+d) - 2bcd) + (3+a)(4cd + 4b(c+d) + 3bcd)
\]
展开并合并同类项：
\[
\begin{aligned}
&(4+a)(-3cd) = -12cd - 3acd \\
&(4+a)(-3b(c+d)) = -12b(c+d) - 3ab(c+d) \\
&(4+a)(-2bcd) = -8bcd - 2abcd \\
&(3+a)(4cd) = 12cd + 4acd \\
&(3+a)(4b(c+d)) = 12b(c+d) + 4ab(c+d) \\
&(3+a)(3bcd) = 9bcd + 3abcd
\end{aligned}
\]
相加得：
\[
(-12cd - 3acd) + (12cd + 4acd) = acd \\
(-12b(c+d) - 3ab(c+d)) + (12b(c+d) + 4ab(c+d)) = ab(c+d) \\
(-8bcd - 2abcd) + (9bcd + 3abcd) = bcd + abcd
\]
所以原行列式 =
\[
acd + ab(c+d) + bcd + abcd = abcd + abc + abd + acd + bcd
\]
提示：合并时注意同类项，特别是含有abcd的项。
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