哈尔滨工程大学 2005年高等代数第0题
📝 题目
2．多项式 $x^{7}+2 x^{6}+6 x^{2}+2$ 在复数域上所有根的关系是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定多项式次数和根的数量
多项式 $f(x)=x^{7}+2x^{6}+6x^{2}+2$ 是7次多项式，因此在复数域上有7个根（计重数）。设这些根为 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_7$。
提示：注意多项式次数与根个数的关系，在复数域上n次多项式恰有n个根（计重数）。
步骤 2/6
目标：应用韦达定理求根的和
对于首一多项式 $x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0$，根的和等于 $-a_{n-1}$。这里 $a_{6}=2$，所以 $\sum_{i=1}^7 \alpha_i = -2$。
公式：$$\sum_{i=1}^n \alpha_i = -a_{n-1}$$
提示：注意符号：根的和是系数相反数，不要忘记负号。
步骤 3/6
目标：应用韦达定理求根的积
对于首一多项式，根的积等于 $(-1)^n a_0$。这里 $a_0=2$，$n=7$，所以 $\prod_{i=1}^7 \alpha_i = (-1)^7 \cdot 2 = -2$。
公式：$$\prod_{i=1}^n \alpha_i = (-1)^n a_0$$
提示：注意 $(-1)^n$ 的符号，当n为奇数时积为 $-a_0$。
步骤 4/6
目标：分析根的重数
检查多项式是否有重根。计算 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 的最大公因式。$f'(x)=7x^6+12x^5+12x$。由于 $f(x)$ 和 $f'(x)$ 没有公共根（例如，$f(0)=2\neq0$，且 $f'(0)=0$ 但0不是 $f$ 的根），因此无重根。
提示：重根判别：若 $f(\alpha)=f'(\alpha)=0$，则 $\alpha$ 是重根。这里通过观察0不是根即可排除重根可能，但更严谨需计算最大公因式。
步骤 5/6
目标：考虑实系数多项式的共轭根性质
多项式系数均为实数，因此非实根必成对共轭出现。设实根个数为 $r$，则 $r$ 为奇数（因为总根数7是奇数），且共轭对数为 $(7-r)/2$。
提示：实系数多项式非实根共轭成对，所以实根个数与总根数奇偶性相同。
步骤 6/6
目标：总结所有根的关系
综合以上，所有根的关系为：
- 根的和等于 $-2$；
- 根的积等于 $-2$；
- 无重根；
- 非实根成对共轭出现。
提示：注意：题目要求的是“所有根的关系”，通常指韦达定理给出的和与积，以及共轭性质。
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