哈尔滨工程大学 2006年高等代数第0题
📝 题目
10．设 $A$ 为 $m \times n$ 阶实矩阵，$r(A)=m$ ，$X$ 为实 $m$ 维非零列向量，则 $X^{T}\left(A A^{T}\right) X$ 为
$\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析矩阵秩的条件
已知 $A$ 是 $m \times n$ 实矩阵，$r(A)=m$，这意味着 $A$ 行满秩，因此 $m \leq n$。
提示：注意行满秩意味着行向量线性无关，且行数不超过列数。
步骤 2/6
目标：构造二次型
考虑 $X^T(AA^T)X$，其中 $X$ 是 $m$ 维非零实列向量。由于 $AA^T$ 是 $m \times m$ 实对称矩阵，该表达式是一个二次型。
公式：$X^T(AA^T)X$
提示：注意 $AA^T$ 是对称矩阵，因为 $(AA^T)^T = AA^T$。
步骤 3/6
目标：利用矩阵乘法性质化简
利用矩阵乘法的结合律：$X^T(AA^T)X = (X^T A)(A^T X) = (A^T X)^T (A^T X)$。
公式：$X^T(AA^T)X = (A^T X)^T (A^T X)$
提示：注意 $(A^T X)^T = X^T A$，但这里直接写为内积形式。
步骤 4/6
目标：转化为向量范数
设 $y = A^T X$，则 $y$ 是 $n$ 维列向量，且 $(A^T X)^T (A^T X) = y^T y = \|y\|^2$，即向量 $y$ 的欧几里得范数的平方。因此 $X^T(AA^T)X = \|A^T X\|^2$。
公式：$\|A^T X\|^2 = (A^T X)^T (A^T X)$
提示：范数平方非负，等于0当且仅当向量为零向量。
步骤 5/6
目标：判断 $A^T X$ 是否为零向量
由于 $r(A)=m$，$A$ 行满秩，则 $A^T$ 列满秩，即 $A^T$ 的列向量线性无关。因此，对于非零 $X$，$A^T X$ 是 $A^T$ 的列向量的线性组合，且系数 $X$ 非零，故 $A^T X \neq 0$。
提示：行满秩矩阵的转置是列满秩，其零空间只有零向量。
步骤 6/6
目标：得出二次型的正定性
因为 $A^T X \neq 0$，所以 $\|A^T X\|^2 > 0$，即 $X^T(AA^T)X > 0$。这表明 $AA^T$ 是正定矩阵，二次型恒正。
公式：$X^T(AA^T)X > 0$
提示：注意 $X$ 是非零向量，结果严格大于0。
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