📝 哈尔滨工程大学 2006年高等代数真题

1．若 $P$ 为同时包含 $\mathbb{Q}$ 和 $\pi$ 的最小数域，则 $P$ 作为 $\mathbb{Q}$ 上的线性空间的维数是 $\_\_\_\_$ ．

2．设 $f(x)$ 为数域 $P$ 上的不可约多项式，则 $f(x)$ 与 $f^{\prime}(x)$ 的关系是 $\_\_\_\_$。

3．若 $A$ 为 $n$ 阶可逆的反对称矩阵，则 $n$ 一定是 $\_\_\_\_$。

4．设 $A$ 为 $\mathbf{n}$ 阶方阵，且 $A^{3}=0$ ，则 $E+A+A^{2}$ 一定为 $\_\_\_\_$矩阵。

5．向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ 线性无关，则向量组 $\alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{2}+\alpha_{3}, \alpha_{3}+\alpha_{4}, \alpha_{4}+\alpha_{5}, \alpha_{5}+\alpha_{1}$ 的线性相关性 $\_\_\_\_$。

6．设 $A, B$ 为 $m \times n$ 矩阵，且 $r(A)+r(B)<n$ ，则线性方程组 $A x=0$ 与 $B x=0$ 的关系为
$\_\_\_\_$。

7．设 $\sigma$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换， $\operatorname{Ker} \sigma=\{0\}$ ，则 $\sigma$ 为 $\_\_\_\_$。

8．设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，且 $A$ 可逆，则 $A B$ 与 $B A$ 的关系是 $\_\_\_\_$。

9．若 $A, B$ 为同阶正交阵，且 $|A B|=-1$ ，则 $|A+B|=$ $\_\_\_\_$ ．

10．设 $A$ 为 $m \times n$ 阶实矩阵，$r(A)=m$ ，$X$ 为实 $m$ 维非零列向量，则 $X^{T}\left(A A^{T}\right) X$ 为
$\_\_\_\_$。

七、 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\displaystyle \lambda_{0}$ 为 $A$ 的特征值，此时我们称 $\displaystyle n-r\left(\lambda_{0} E-A\right)$ 为 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的几何重数，$\displaystyle \lambda_{0}$ 作为 $A$ 的特征多项式 $\displaystyle |\lambda E-A|$ 之根的重数称为 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的代数重数，求证 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的几何重数不超过其代数重数．

三、设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 7\end{array}\right)$ ，
（1）求 $\displaystyle r(A)$ ；
（2）求线性空间 $\displaystyle V=\left\{x \in \mathbb{R}^{4} \mid A^{*} x=0\right\}$ 的基础解系．

二、设 $V$ 为实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的三维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 为 $V$ 上的一个线性变换，且 $\displaystyle \sigma$ 在 $V$ 的基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right)$ ．
（1）求 $V$ 的另一组基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 使 $\displaystyle \sigma$ 在此基下的矩阵 $B$ 为对角阵；
（2）求 $\displaystyle A^{k}$ ．

五、设 $\displaystyle \sigma$ 为数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x)$ 为 $\displaystyle P[x]$ 中两个互素的多项式，$\displaystyle f(x)=f_{1}(x) f_{2}(x)$ ，求证： $\displaystyle \operatorname{Ker} f(\sigma)=\operatorname{Ker} f_{1}(\sigma) \oplus \operatorname{Ker} f_{2}(\sigma)$ ．

八、设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶实对称距阵，且 $B$ 正定，求证：存在一个实可逆矩阵 $P$ 使 $\displaystyle P^{T} A P$ 和 $\displaystyle P^{T} B P$同时为对角阵。

六、设 $\displaystyle \sigma$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\varepsilon$ ，求证 $\displaystyle \sigma$ 可对角化．

四、设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle (\sigma+\tau)^{2}=\sigma+\tau, \sigma^{2}=\sigma, \tau^{2}=\tau$ ，求证： $\displaystyle \sigma \tau=0$.