哈尔滨工程大学 2006年高等代数第0题
📝 题目
4．设 $A$ 为 $\mathbf{n}$ 阶方阵，且 $A^{3}=0$ ，则 $E+A+A^{2}$ 一定为 $\_\_\_\_$矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解已知条件
已知 $A$ 是 $n$ 阶方阵，且满足 $A^3 = 0$，即 $A$ 是幂零矩阵，指数为3。需要判断 $E + A + A^2$ 的性质。
公式：A^3 = 0
提示：注意 $A^3 = 0$ 意味着 $A$ 的幂次在3及以上均为零矩阵。
步骤 2/6
目标：构造乘积表达式
考虑 $(E - A)(E + A + A^2)$。利用分配律展开：$(E - A)(E + A + A^2) = E(E + A + A^2) - A(E + A + A^2) = E + A + A^2 - A - A^2 - A^3 = E - A^3$。
公式：(E - A)(E + A + A^2) = E - A^3
提示：注意矩阵乘法不满足交换律，但这里 $E$ 与 $A$ 可交换，且 $A$ 与自身可交换，所以展开时顺序正确。
步骤 3/6
目标：代入已知条件化简
由于 $A^3 = 0$，代入得 $(E - A)(E + A + A^2) = E - 0 = E$。因此 $E - A$ 与 $E + A + A^2$ 互为逆矩阵。
公式：(E - A)(E + A + A^2) = E
提示：注意 $E$ 是单位矩阵，$E - A$ 和 $E + A + A^2$ 都是方阵。
步骤 4/6
目标：得出可逆结论
由 $(E - A)(E + A + A^2) = E$ 可知 $E + A + A^2$ 存在逆矩阵 $E - A$，因此 $E + A + A^2$ 是可逆矩阵。
公式：若存在 $B$ 使得 $AB = E$，则 $A$ 可逆且 $A^{-1} = B$
提示：注意这里只验证了左逆，但方阵的左逆也是右逆，所以可逆。
步骤 5/6
目标：验证逆矩阵的唯一性
实际上，也可以验证 $(E + A + A^2)(E - A) = E$，因为 $(E + A + A^2)(E - A) = E - A^3 = E$，所以 $E - A$ 也是右逆。因此 $E + A + A^2$ 可逆，且逆矩阵为 $E - A$。
公式：(E + A + A^2)(E - A) = E
提示：验证左右逆一致，确保可逆性。
步骤 6/6
目标：总结答案
因此，$E + A + A^2$ 一定是可逆矩阵。
提示：注意题目要求填写“可逆”二字。
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