哈尔滨工程大学 2006年高等代数第0题
📝 题目
2．设 $f(x)$ 为数域 $P$ 上的不可约多项式，则 $f(x)$ 与 $f^{\prime}(x)$ 的关系是 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解不可约多项式的定义
设 $f(x) \in P[x]$ 且 $\deg f(x) \geq 1$。若 $f(x)$ 在数域 $P$ 上不可约，则 $f(x)$ 在 $P[x]$ 中的因子只有非零常数和 $c f(x)$，其中 $c \in P$ 且 $c \neq 0$。
提示：注意不可约多项式要求次数至少为1，且因子只有平凡因子。
步骤 2/5
目标：分析 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 的公因子可能性
假设 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 不互素，则存在非常数多项式 $g(x)$ 使得 $g(x) \mid f(x)$ 且 $g(x) \mid f'(x)$。由于 $f(x)$ 不可约，$g(x)$ 只能是 $c f(x)$ 的形式（$c \neq 0$），因此 $f(x) \mid f'(x)$。
提示：注意公因子必须是非常数多项式，且利用不可约性确定公因子的形式。
步骤 3/5
目标：考虑次数关系
若 $f(x) \mid f'(x)$，则 $\deg f(x) \leq \deg f'(x)$。但 $\deg f'(x) = \deg f(x) - 1$（当 $f'(x) \neq 0$ 时），矛盾。因此必须 $f'(x) = 0$。
公式：$\deg f'(x) = \deg f(x) - 1$（若 $f'(x) \neq 0$）
提示：注意导数多项式次数降低的条件是导数非零。
步骤 4/5
目标：讨论 $f'(x)=0$ 的可能性
在数域 $P$ 上，若 $f'(x)=0$，则 $f(x)$ 只能是常数多项式。因为数域的特征为0，多项式求导为零当且仅当多项式为常数。但 $f(x)$ 不可约，次数至少为1，矛盾。
提示：数域的特征为0，所以导数恒为零的多项式只能是常数。注意区分特征为p的域。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，假设不成立，$f(x)$ 与 $f'(x)$ 没有非常数公因子，即它们互素。所以 $(f(x), f'(x)) = 1$。
公式：$(f(x), f'(x)) = 1$
提示：互素即最大公因式为常数（非零）。
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