哈尔滨工程大学 2006年高等代数第0题
📝 题目
8．设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，且 $A$ 可逆，则 $A B$ 与 $B A$ 的关系是 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件
已知 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，且 $A$ 可逆，即存在 $A^{-1}$ 使得 $AA^{-1}=A^{-1}A=I$。
提示：注意可逆矩阵的定义：存在逆矩阵。
步骤 2/5
目标：构造相似关系
考虑 $AB$ 和 $BA$，我们尝试将 $AB$ 表示为 $BA$ 的相似变换形式。由于 $A$ 可逆，有 $AB = A(BA)A^{-1}$。
公式：AB = A(BA)A^{-1}
提示：注意矩阵乘法不满足交换律，但可以利用可逆矩阵进行相似变换。
步骤 3/5
目标：验证相似定义
根据相似矩阵的定义，若存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}XP=Y$，则 $X$ 与 $Y$ 相似。这里取 $P=A$，则 $A^{-1}(AB)A = BA$，即 $AB$ 与 $BA$ 相似。
公式：A^{-1}(AB)A = BA
提示：注意相似变换的顺序：$P^{-1}XP$，不要写成 $PXP^{-1}$。
步骤 4/5
目标：推导相似结论
由 $A^{-1}(AB)A = BA$ 可知 $AB$ 与 $BA$ 相似。因此它们有相同的特征值、相同的秩、相同的迹等。
提示：相似矩阵具有相同的特征多项式，但反之不一定成立。
步骤 5/5
目标：总结关系
因此，$AB$ 与 $BA$ 的关系是相似。
提示：注意：当 $A$ 不可逆时，$AB$ 与 $BA$ 不一定相似，但仍有相同的非零特征值。
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