哈尔滨工程大学 2006年高等代数第0题
📝 题目
四、设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle (\sigma+\tau)^{2}=\sigma+\tau, \sigma^{2}=\sigma, \tau^{2}=\tau$ ，求证： $\displaystyle \sigma \tau=0$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：展开已知条件中的平方项
由已知条件，\(\sigma^2 = \sigma\)，\(\tau^2 = \tau\)，且 \((\sigma+\tau)^2 = \sigma+\tau\)。展开 \((\sigma+\tau)^2\) 得：
\[
(\sigma+\tau)^2 = \sigma^2 + \sigma\tau + \tau\sigma + \tau^2 = \sigma + \sigma\tau + \tau\sigma + \tau.
\]
公式：(\sigma+\tau)^2 = \sigma^2 + \sigma\tau + \tau\sigma + \tau^2
提示：注意线性变换的乘法不满足交换律，展开时顺序不能交换。
步骤 2/6
目标：利用等式化简得到关系式
由条件，上式等于 \(\sigma+\tau\)，因此
\[
\sigma + \sigma\tau + \tau\sigma + \tau = \sigma + \tau,
\]
化简得
\[
\sigma\tau + \tau\sigma = 0,
\]
即 \(\sigma\tau = -\tau\sigma\)。
公式：\sigma\tau + \tau\sigma = 0
提示：等式两边同时减去 \(\sigma+\tau\)，注意零变换。
步骤 3/6
目标：左乘 \(\sigma\) 得到新关系
用 \(\sigma\) 左乘 \(\sigma\tau = -\tau\sigma\) 两边：
\[
\sigma(\sigma\tau) = \sigma(-\tau\sigma) \Rightarrow (\sigma^2)\tau = -\sigma\tau\sigma \Rightarrow \sigma\tau = -\sigma\tau\sigma.
\]
公式：\sigma\tau = -\sigma\tau\sigma
提示：利用 \(\sigma^2 = \sigma\) 简化。
步骤 4/6
目标：右乘 \(\tau\) 得到另一关系
用 \(\tau\) 右乘 \(\sigma\tau = -\tau\sigma\) 两边：
\[
(\sigma\tau)\tau = (-\tau\sigma)\tau \Rightarrow \sigma(\tau^2) = -\tau\sigma\tau \Rightarrow \sigma\tau = -\tau\sigma\tau.
\]
公式：\sigma\tau = -\tau\sigma\tau
提示：利用 \(\tau^2 = \tau\) 简化。
步骤 5/6
目标：代入消去得到 \(\sigma\tau\) 的对称关系
将 \(\sigma\tau = -\tau\sigma\) 代入 \(\sigma\tau = -\sigma\tau\sigma\) 得：
\[
\sigma\tau = -\sigma(-\tau\sigma) = \sigma\tau\sigma.
\]
所以 \(\sigma\tau = \sigma\tau\sigma\)。
公式：\sigma\tau = \sigma\tau\sigma
提示：注意代入时负号的处理。
步骤 6/6
目标：联立两个表达式推出 \(\sigma\tau = 0\)
由步骤3得 \(\sigma\tau = -\sigma\tau\sigma\)，由步骤5得 \(\sigma\tau = \sigma\tau\sigma\)，因此
\[
\sigma\tau = -\sigma\tau \Rightarrow 2\sigma\tau = 0.
\]
在特征不为2的域（如实数或复数域）上，可得 \(\sigma\tau = 0\)。
公式：2\sigma\tau = 0 \Rightarrow \sigma\tau = 0
提示：注意域的特征条件，若特征为2则不能直接推出。
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