哈尔滨工程大学 2006年高等代数第0题
📝 题目
5．向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ 线性无关，则向量组 $\alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{2}+\alpha_{3}, \alpha_{3}+\alpha_{4}, \alpha_{4}+\alpha_{5}, \alpha_{5}+\alpha_{1}$ 的线性相关性 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义新向量组
设 $\beta_1 = \alpha_1+\alpha_2$, $\beta_2 = \alpha_2+\alpha_3$, $\beta_3 = \alpha_3+\alpha_4$, $\beta_4 = \alpha_4+\alpha_5$, $\beta_5 = \alpha_5+\alpha_1$。我们需要判断 $\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4,\beta_5$ 的线性相关性。
提示：注意新向量组与原向量组的关系，每个新向量都是两个原向量的和。
步骤 2/6
目标：构造线性组合并设为零
考虑线性组合 $k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + k_3\beta_3 + k_4\beta_4 + k_5\beta_5 = 0$，即 $$k_1(\alpha_1+\alpha_2) + k_2(\alpha_2+\alpha_3) + k_3(\alpha_3+\alpha_4) + k_4(\alpha_4+\alpha_5) + k_5(\alpha_5+\alpha_1) = 0.$$
提示：线性相关性的定义：存在不全为零的系数使得线性组合为零。
步骤 3/6
目标：整理合并同类项
将上式按 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5$ 合并同类项：$$(k_1+k_5)\alpha_1 + (k_1+k_2)\alpha_2 + (k_2+k_3)\alpha_3 + (k_3+k_4)\alpha_4 + (k_4+k_5)\alpha_5 = 0.$$
提示：注意每个 $\alpha_i$ 的系数来自哪些项，避免遗漏。
步骤 4/6
目标：利用线性无关性得到齐次方程组
由于 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5$ 线性无关，所以系数必须全为零，得到方程组：
\begin{cases}
k_1 + k_5 = 0, \\
k_1 + k_2 = 0, \\
k_2 + k_3 = 0, \\
k_3 + k_4 = 0, \\
k_4 + k_5 = 0.
\end{cases}
公式：线性无关的定义：若 $c_1\alpha_1+\cdots+c_n\alpha_n=0$ 则所有 $c_i=0$。
提示：线性无关是本题的关键条件，确保方程组正确。
步骤 5/6
目标：解方程组
由第一式得 $k_5 = -k_1$，代入第五式得 $k_4 - k_1 = 0$，即 $k_4 = k_1$；由第四式得 $k_3 + k_1 = 0$，即 $k_3 = -k_1$；由第三式得 $k_2 - k_1 = 0$，即 $k_2 = k_1$；由第二式得 $k_1 + k_1 = 0$，即 $2k_1 = 0$，所以 $k_1 = 0$。进而 $k_2 = k_3 = k_4 = k_5 = 0$。
提示：解方程组时注意代入顺序，避免计算错误。
步骤 6/6
目标：得出结论
方程组只有零解，即 $k_1=k_2=k_3=k_4=k_5=0$，因此向量组 $\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4,\beta_5$ 线性无关。
提示：只有零解意味着线性无关，否则线性相关。
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