哈尔滨工程大学 2006年高等代数第0题
📝 题目
六、设 $\displaystyle \sigma$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\varepsilon$ ，求证 $\displaystyle \sigma$ 可对角化．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用条件得到零化多项式
已知 $\sigma^2 = \varepsilon$，即 $\sigma^2 - \varepsilon = 0$。因此多项式 $f(x) = x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ 满足 $f(\sigma)=0$，所以 $f(x)$ 是 $\sigma$ 的一个零化多项式。
公式：$\sigma^2 - \varepsilon = 0$
提示：注意零化多项式不一定是最小多项式，但最小多项式整除零化多项式。
步骤 2/5
目标：确定最小多项式无重根
由于 $f(x) = (x-1)(x+1)$ 无重根，且最小多项式 $m(x)$ 整除 $f(x)$，故 $m(x)$ 只能为 $x-1$，$x+1$ 或 $(x-1)(x+1)$，这些多项式均无重根。因此 $\sigma$ 的最小多项式无重根。
公式：$m(x) \mid (x-1)(x+1)$
提示：注意 $x-1$ 和 $x+1$ 互素，所以 $m(x)$ 无重根。
步骤 3/5
目标：应用可对角化充要条件
线性变换可对角化的充要条件是其最小多项式无重根（在复数域上）。因为 $\sigma$ 的最小多项式无重根，所以 $\sigma$ 可对角化。
提示：该充要条件适用于复数域，但本题中特征值只有 $\pm1$，在实数域也成立。
步骤 4/5
目标：构造特征子空间分解（可选）
令 $V_1 = \{ v \in V \mid \sigma(v) = v \}$，$V_{-1} = \{ v \in V \mid \sigma(v) = -v \}$。对任意 $v \in V$，有 $v = \frac{v+\sigma(v)}{2} + \frac{v-\sigma(v)}{2}$，且第一项属于 $V_1$，第二项属于 $V_{-1}$，故 $V = V_1 + V_{-1}$。若 $v \in V_1 \cap V_{-1}$，则 $v = -v$，得 $v=0$，所以和为直和。因此 $V = V_1 \oplus V_{-1}$。
公式：$v = \frac{v+\sigma(v)}{2} + \frac{v-\sigma(v)}{2}$
提示：注意验证 $\frac{v+\sigma(v)}{2}$ 属于 $V_1$：$\sigma(\frac{v+\sigma(v)}{2}) = \frac{\sigma(v)+\sigma^2(v)}{2} = \frac{\sigma(v)+v}{2}$。
步骤 5/5
目标：得出对角化结论
在 $V_1$ 上 $\sigma$ 作用为恒等，在 $V_{-1}$ 上 $\sigma$ 作用为负恒等。取 $V_1$ 的一组基和 $V_{-1}$ 的一组基，合并成 $V$ 的基，则 $\sigma$ 在此基下的矩阵为对角矩阵 $\operatorname{diag}(1,\dots,1,-1,\dots,-1)$。因此 $\sigma$ 可对角化。
提示：注意特征值只有 $1$ 和 $-1$，且特征子空间维数之和为 $n$。
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