哈尔滨工程大学 2006年高等代数第0题
📝 题目
6．设 $A, B$ 为 $m \times n$ 矩阵，且 $r(A)+r(B)<n$ ，则线性方程组 $A x=0$ 与 $B x=0$ 的关系为
$\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题与已知条件
已知 $A$ 和 $B$ 是 $m \times n$ 矩阵，且秩满足 $r(A) + r(B) < n$。需要判断齐次线性方程组 $Ax=0$ 与 $Bx=0$ 的解之间的关系。
提示：注意 $n$ 是未知数的个数，也是矩阵的列数。
步骤 2/6
目标：计算解空间的维数
对于齐次线性方程组 $Ax=0$，其解空间 $V_A$ 的维数为 $\dim V_A = n - r(A)$。类似地，$Bx=0$ 的解空间 $V_B$ 的维数为 $\dim V_B = n - r(B)$。
公式：\dim V_A = n - r(A), \quad \dim V_B = n - r(B)
提示：解空间维数公式依赖于矩阵的秩，注意 $r(A) \leq \min(m,n)$。
步骤 3/6
目标：应用维数公式求交空间维数下界
两个子空间 $V_A$ 和 $V_B$ 的交空间 $V_A \cap V_B$ 的维数满足维数公式：$\dim(V_A \cap V_B) = \dim V_A + \dim V_B - \dim(V_A + V_B)$。由于 $V_A + V_B \subseteq \mathbb{R}^n$，有 $\dim(V_A + V_B) \leq n$，因此 $\dim(V_A \cap V_B) \geq \dim V_A + \dim V_B - n$。
公式：\dim(V_A \cap V_B) \geq \dim V_A + \dim V_B - n
提示：维数公式是线性空间理论的核心工具，注意不等式方向。
步骤 4/6
目标：代入已知条件
将 $\dim V_A = n - r(A)$ 和 $\dim V_B = n - r(B)$ 代入不等式：$\dim(V_A \cap V_B) \geq (n - r(A)) + (n - r(B)) - n = n - r(A) - r(B)$。
公式：\dim(V_A \cap V_B) \geq n - r(A) - r(B)
提示：代入时注意符号，确保计算正确。
步骤 5/6
目标：利用条件判断交空间维数大于0
已知 $r(A) + r(B) < n$，所以 $n - r(A) - r(B) > 0$。因此 $\dim(V_A \cap V_B) \geq n - r(A) - r(B) > 0$，即交空间维数至少为1。
公式：n - r(A) - r(B) > 0
提示：严格大于0意味着存在非零向量。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于 $V_A \cap V_B$ 的维数大于0，存在非零向量 $x$ 同时属于 $V_A$ 和 $V_B$，即 $Ax=0$ 且 $Bx=0$。因此方程组 $Ax=0$ 与 $Bx=0$ 有非零公共解。
提示：注意结论是“有非零公共解”，而不是“解相同”或“解空间包含关系”。
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