哈尔滨工程大学 2006年高等代数第0题
📝 题目
五、设 $\displaystyle \sigma$ 为数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x)$ 为 $\displaystyle P[x]$ 中两个互素的多项式，$\displaystyle f(x)=f_{1}(x) f_{2}(x)$ ，求证： $\displaystyle \operatorname{Ker} f(\sigma)=\operatorname{Ker} f_{1}(\sigma) \oplus \operatorname{Ker} f_{2}(\sigma)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用互素多项式得到恒等式
由于 $f_1(x)$ 与 $f_2(x)$ 互素，存在 $u(x), v(x) \in P[x]$ 使得 $u(x)f_1(x) + v(x)f_2(x) = 1$。代入 $\sigma$ 得 $u(\sigma)f_1(\sigma) + v(\sigma)f_2(\sigma) = I$，其中 $I$ 是恒等变换。
公式：u(x)f_1(x) + v(x)f_2(x) = 1
提示：注意多项式互素的条件，确保存在这样的 $u(x), v(x)$。
步骤 2/5
目标：证明 Ker f(σ) ⊆ Ker f₁(σ) + Ker f₂(σ)
对任意 $\alpha \in \operatorname{Ker} f(\sigma)$，有 $f(\sigma)\alpha = f_1(\sigma)f_2(\sigma)\alpha = 0$。令 $\alpha_1 = v(\sigma)f_2(\sigma)\alpha$，$\alpha_2 = u(\sigma)f_1(\sigma)\alpha$，则 $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2$。计算 $f_1(\sigma)\alpha_1 = f_1(\sigma)v(\sigma)f_2(\sigma)\alpha = v(\sigma)f_1(\sigma)f_2(\sigma)\alpha = v(\sigma)f(\sigma)\alpha = 0$，故 $\alpha_1 \in \operatorname{Ker} f_1(\sigma)$。类似地，$f_2(\sigma)\alpha_2 = 0$，故 $\alpha_2 \in \operatorname{Ker} f_2(\sigma)$。因此 $\operatorname{Ker} f(\sigma) \subseteq \operatorname{Ker} f_1(\sigma) + \operatorname{Ker} f_2(\sigma)$。
公式：\alpha = v(\sigma)f_2(\sigma)\alpha + u(\sigma)f_1(\sigma)\alpha
提示：注意 $f_1(\sigma)$ 与 $f_2(\sigma)$ 可交换，因为它们是 $\sigma$ 的多项式。
步骤 3/5
目标：证明 Ker f₁(σ) + Ker f₂(σ) ⊆ Ker f(σ)
若 $\alpha \in \operatorname{Ker} f_1(\sigma) + \operatorname{Ker} f_2(\sigma)$，则存在 $\beta \in \operatorname{Ker} f_1(\sigma)$，$\gamma \in \operatorname{Ker} f_2(\sigma)$ 使得 $\alpha = \beta + \gamma$。于是 $f(\sigma)\alpha = f_1(\sigma)f_2(\sigma)\beta + f_1(\sigma)f_2(\sigma)\gamma = f_2(\sigma)f_1(\sigma)\beta + f_1(\sigma)f_2(\sigma)\gamma = 0$，故 $\alpha \in \operatorname{Ker} f(\sigma)$。因此 $\operatorname{Ker} f_1(\sigma) + \operatorname{Ker} f_2(\sigma) \subseteq \operatorname{Ker} f(\sigma)$。
提示：注意 $f_1(\sigma)$ 与 $f_2(\sigma)$ 可交换，且 $f_1(\sigma)\beta = 0$，$f_2(\sigma)\gamma = 0$。
步骤 4/5
目标：证明和是直和
设 $\alpha \in \operatorname{Ker} f_1(\sigma) \cap \operatorname{Ker} f_2(\sigma)$，则 $f_1(\sigma)\alpha = 0$ 且 $f_2(\sigma)\alpha = 0$。由 $u(\sigma)f_1(\sigma) + v(\sigma)f_2(\sigma) = I$ 得 $\alpha = u(\sigma)f_1(\sigma)\alpha + v(\sigma)f_2(\sigma)\alpha = 0$。故交为零子空间，和是直和。
公式：\alpha = u(\sigma)f_1(\sigma)\alpha + v(\sigma)f_2(\sigma)\alpha
提示：直和的条件是交为零子空间，这里利用恒等式直接得到。
步骤 5/5
目标：得出结论
由以上两步，$\operatorname{Ker} f(\sigma) = \operatorname{Ker} f_1(\sigma) \oplus \operatorname{Ker} f_2(\sigma)$。
提示：注意直和符号的使用。
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