哈尔滨工程大学 2006年高等代数第0题
📝 题目
八、设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶实对称距阵，且 $B$ 正定，求证：存在一个实可逆矩阵 $P$ 使 $\displaystyle P^{T} A P$ 和 $\displaystyle P^{T} B P$同时为对角阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用B的正定性将其化为单位阵
由于$B$是正定实对称矩阵，存在实可逆矩阵$Q$使得$Q^T B Q = I$，其中$I$是$n$阶单位阵。这是正定矩阵的合同对角化性质。
公式：$Q^T B Q = I$
提示：确保$Q$是可逆的，且$B$的正定性保证了这样的$Q$存在。
步骤 2/7
目标：构造对称矩阵C
令$C = Q^T A Q$。由于$A$是实对称矩阵，且$Q$是实矩阵，则$C$也是实对称矩阵。
公式：$C = Q^T A Q$
提示：注意$C$的对称性：$(Q^T A Q)^T = Q^T A^T Q = Q^T A Q$。
步骤 3/7
目标：将C正交对角化
由于$C$是实对称矩阵，存在正交矩阵$R$（即$R^T R = I$）使得$R^T C R = \Lambda$为对角矩阵，其对角线元素为$C$的特征值。
公式：$R^T C R = \Lambda$
提示：正交矩阵$R$满足$R^{-1} = R^T$，且$R$的列向量是$C$的单位正交特征向量。
步骤 4/7
目标：定义可逆矩阵P
取$P = QR$。由于$Q$和$R$均可逆，$P$也是可逆矩阵。
公式：$P = QR$
提示：注意$P$是实矩阵，且可逆性由$Q$和$R$的可逆性保证。
步骤 5/7
目标：验证P^T B P为单位阵
计算$P^T B P = (QR)^T B (QR) = R^T (Q^T B Q) R = R^T I R = R^T R = I$。
公式：$P^T B P = I$
提示：利用$Q^T B Q = I$和$R$的正交性$R^T R = I$。
步骤 6/7
目标：验证P^T A P为对角阵
计算$P^T A P = (QR)^T A (QR) = R^T (Q^T A Q) R = R^T C R = \Lambda$，即对角矩阵。
公式：$P^T A P = \Lambda$
提示：注意$C = Q^T A Q$，且$R^T C R = \Lambda$。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，存在实可逆矩阵$P$使得$P^T A P$和$P^T B P$同时为对角阵，其中$P^T B P = I$，$P^T A P = \Lambda$。
提示：该结论是实对称矩阵同时合同对角化的典型结果。
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