哈尔滨工程大学 2006年高等代数第0题
📝 题目
二、设 $V$ 为实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的三维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 为 $V$ 上的一个线性变换，且 $\displaystyle \sigma$ 在 $V$ 的基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right)$ ．
（1）求 $V$ 的另一组基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 使 $\displaystyle \sigma$ 在此基下的矩阵 $B$ 为对角阵；
（2）求 $\displaystyle A^{k}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求特征多项式
计算矩阵 $A$ 的特征多项式：
$$|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda-1 & -4 & -2 \\ 0 & \lambda+3 & -4 \\ 0 & -4 & \lambda-3 \end{vmatrix} = (\lambda-1)[(\lambda+3)(\lambda-3)-16] = (\lambda-1)(\lambda^2-25) = (\lambda-1)(\lambda-5)(\lambda+5).$$
公式：$|\lambda E - A| = 0$
提示：注意行列式的展开，利用上三角或下三角简化计算。
步骤 2/6
目标：求特征值
由特征多项式得特征值为 $\lambda_1=1$, $\lambda_2=5$, $\lambda_3=-5$。
提示：特征值要解对多项式方程，注意符号。
步骤 3/6
目标：求特征向量
对于 $\lambda=1$，解 $(E-A)x=0$：
$$\begin{pmatrix} 0 & -4 & -2 \\ 0 & 4 & -4 \\ 0 & -4 & -2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0.5 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},$$
得基础解系 $\xi_1=(1,0,0)^T$。
对于 $\lambda=5$，解 $(5E-A)x=0$：
$$\begin{pmatrix} 4 & -4 & -2 \\ 0 & 8 & -4 \\ 0 & -4 & 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -1 & -0.5 \\ 0 & 1 & -0.5 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},$$
得基础解系 $\xi_2=(1,1,2)^T$。
对于 $\lambda=-5$，解 $(-5E-A)x=0$：
$$\begin{pmatrix} -6 & -4 & -2 \\ 0 & -2 & -4 \\ 0 & -4 & -8 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2/3 & 1/3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},$$
得基础解系 $\xi_3=(1,-2,1)^T$。
公式：$(\lambda_i E - A)x = 0$
提示：解齐次线性方程组时，注意化为行最简形，自由变量赋值要合理。
步骤 4/6
目标：构造新基和对角化矩阵
取基 $\beta_1 = \alpha_1$，$\beta_2 = \alpha_1+\alpha_2+2\alpha_3$，$\beta_3 = \alpha_1-2\alpha_2+\alpha_3$，则 $\sigma$ 在此基下的矩阵为对角阵 $B=\operatorname{diag}(1,5,-5)$。
公式：$B = P^{-1}AP$，其中 $P$ 由特征向量组成
提示：新基的向量是特征向量在旧基下的坐标，注意顺序对应特征值。
步骤 5/6
目标：计算过渡矩阵及其逆
过渡矩阵 $P = (\xi_1,\xi_2,\xi_3) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$。
计算 $P^{-1}$：
$$P^{-1} = \frac{1}{\det P} \begin{pmatrix} 5 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix},$$
其中 $\det P = 5$。
公式：$P^{-1} = \frac{1}{\det(P)} \operatorname{adj}(P)$
提示：求逆矩阵时注意伴随矩阵的转置和行列式的值。
步骤 6/6
目标：计算A的k次幂
由 $A = PBP^{-1}$ 得 $A^k = P B^k P^{-1}$，其中 $B^k = \operatorname{diag}(1^k, 5^k, (-5)^k)$。
代入计算：
$$A^k = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5^k & 0 \\ 0 & 0 & (-5)^k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}.$$
先计算中间乘积，再与左边矩阵相乘，最后除以5，得：
$$A^k = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1+5^k-2(-5)^k}{5} & \frac{-3+2\cdot5^k+(-5)^k}{5} \\ 0 & \frac{5^k+4(-5)^k}{5} & \frac{2\cdot5^k-2(-5)^k}{5} \\ 0 & \frac{2\cdot5^k-2(-5)^k}{5} & \frac{4\cdot5^k+(-5)^k}{5} \end{pmatrix}.$$
公式：$A^k = P B^k P^{-1}$
提示：矩阵乘法顺序不能颠倒，注意 $(-5)^k$ 的符号随k变化。
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