哈尔滨工程大学 2006年高等代数第0题
📝 题目
7．设 $\sigma$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换， $\operatorname{Ker} \sigma=\{0\}$ ，则 $\sigma$ 为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解已知条件
已知 $\sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\operatorname{Ker} \sigma = \{0\}$。这意味着 $\sigma$ 的核只包含零向量。
提示：注意核的定义：$\operatorname{Ker} \sigma = \{v \in V \mid \sigma(v)=0\}$。
步骤 2/6
目标：推出单射性
由 $\operatorname{Ker} \sigma = \{0\}$ 可知，$\sigma$ 是单射（即一一映射）。因为若 $\sigma(v_1)=\sigma(v_2)$，则 $\sigma(v_1-v_2)=0$，从而 $v_1-v_2 \in \operatorname{Ker} \sigma = \{0\}$，故 $v_1=v_2$。
提示：单射的等价条件是核为零空间。
步骤 3/6
目标：应用维数公式
对于有限维线性空间上的线性变换，有维数公式：$\dim V = \dim \operatorname{Ker} \sigma + \dim \operatorname{Im} \sigma$。由于 $\dim \operatorname{Ker} \sigma = 0$，所以 $\dim \operatorname{Im} \sigma = \dim V = n$。
公式：$\dim V = \dim \operatorname{Ker} \sigma + \dim \operatorname{Im} \sigma$
提示：维数公式是线性代数中的基本定理，注意前提是有限维空间。
步骤 4/6
目标：推出满射性
因为 $\operatorname{Im} \sigma$ 是 $V$ 的子空间，且 $\dim \operatorname{Im} \sigma = n = \dim V$，所以 $\operatorname{Im} \sigma = V$，即 $\sigma$ 是满射。
提示：有限维空间中，子空间维数等于全空间维数时，子空间等于全空间。
步骤 5/6
目标：得出双射结论
由单射和满射可知 $\sigma$ 是双射。在有限维线性空间中，双射线性变换称为可逆线性变换或自同构。
提示：注意：无限维空间中单射不一定满射，但有限维空间中单射等价于满射。
步骤 6/6
目标：填写答案
因此，$\sigma$ 是可逆线性变换（或自同构）。
提示：答案需准确表述为“可逆线性变换”或“自同构”。
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